Hallo zusammen

Folgende Frage stellt sich mir: stelle eine Formel auf um den Ortsvektor des Schwerpunkts eines beliebigen Dreiecks ABC zu berechnen.

Die allgemeine Formel, also \( \frac 13 (\vec r_a + \vec r_b + \vec r_c ) = \vec r_s \), ist mir bekannt. Ich wollte aber so tun als kenne ich diese nicht und habe selber nach einer Lösung gesucht. Dabei kam ich auf eine eindeutig andere Formel und das i-Tüpfelchen ist, dass meine Formel für mein Beispiel funktioniert, wärenddessen die obengenannt versagt... Wer kann mir sagen, wo ich einen Fehler gemacht habe?

Ich wähle den Punkt A einfachheitshalber als Ursprung. Von der Schwerpunktlinie ist bekannt, dass sie von Punkt A nach M verläuft, wobei \( M = \frac 12 \overline {BC} \). Der Schwerpunkt teilt die Schwerpunktlinie im Verhältnis 3:1. Somit gilt \( \vec r_s = \frac 34 \vec r_m \).

Nun bestimme ich meinen Orstvektor von M. Also:

\(\vec r_m = \vec r_b + \frac 12 \vec {BC} = \vec r_b + \frac 12 ( \vec r_c - \vec r_b) = \vec r_b + \frac 12  \vec r_c - \frac 12 \vec r_b = \frac 12 ( \vec r_b + \vec r_c) \)

Und somit:

\( \vec r_s = \frac 34 \vec r_m = \frac 34 \cdot \frac 12 (\vec r_b + \vec r_c) = \frac 38 (\vec r_b + \vec r_c) \)

Vergleiche ich nun mit der allgemeinen Formel (wobei ich \( \vec r_a \) weglasse, da dieser \( = \vec 0 \) ist), dann erhalte ich:

\( \frac 13 ( \vec r_b + \vec r_c) \neq \frac 38 ( \vec r_b + \vec r_c) \)

Ich mache mich also auf Fehlersuche. Um keinen Fehler zu machen stelle ich mir ein gleichschenkliges Dreieck vor. Schenkellänge 5, die beiden Schenkel treffen sich bei A. Bei einer Grundlänge von 6 erhalte ich somit zwei Ägyptische Dreiecke. Folgende Punkte sind ohne zu rechnen also bekannt:

A (0,0)

B (4,3)

C (4,-3)

M (4,0)

S (3,0)

Wandle ich nun diese Koordinaten in Orstvektoren um und setze ich sie in meine Formel ein, so erhalte ich (Ich habe nun eine halbe Stunde probiert, die Formel lesbar zu gestalten... es tut mir leid, dass ich sie nicht richtig zu formatieren vermag:

\( \frac 38 ( \vec r_b + \vec r_c ) \) =

\( \frac 38 \) ( \(  \begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix} \) \(+\) \(\begin{pmatrix} 4\\-3 \end{pmatrix} \) )  =

\( \frac 38 \) \begin{pmatrix} 8\\0 \end{pmatrix} =

\begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} =

\( \vec r_s \)

was zu beweisen war; aber so etwas von nicht sein sollte... Wer kann mir helfen?

Kurz zu meiner Person: Ich bin nun 30 Jahre Jung und bereite mich autodidaktisch auf die Passerellen-Prüfung vor, welche mir den Universitätszugang verschaffen würde. Deshalb habe ich keine Lehrperson, welche mir schmunzelnd erklären würde, wo ich die Mathematik zu zerstören versuchte...