Hallo,

\( \frac{df}{dx} \) ist eigentlich nur eine Schreibweise und insbesondere kein Bruch. Man definiert also für eine differenzierbare Funktion f:

\( \frac{df}{dx}= \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \). Auch im rechten Ausdruck hat man nicht wirklich einen Bruch, sondern einen Grenzwert.

Anschaulich gesagt könnte man sich überlegen, dass man den Limes-Operator im Zähler und Nenner rein zieht, dann erhält man diesen df/dx Ausdruck. Das macht aber nur Sinn, wenn sich die Grenzwertsätze anwenden lassen (was nicht zwingend klappen muss).

Es gilt beispielsweise für \( f/g \), solange die Grenzwerte von und f existieren:

\(\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f}{g} =  \frac{\lim_{x \rightarrow x_0} f}{\lim_{x \rightarrow x_0} g} \). Aber eben auch nur, wenn die Grenzwerte existieren (und nicht ein unbestimmer Ausdruck oder sowas entsteht).