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Hey alexwei,
Wenn du nur den Grenzwert bei \( + \infty \) oder \( -\infty \) betrachtest ist dazwischen sehr sehr viel Platz, wo sie sich nochmal schneiden könnten.....
Eine grafische Lösung ist im Allgemeinen nicht anerkannt, kann aber natürlich helfen auf Ideen zu kommen!
Welche Methode ich jetzt anwenden würde kommt ein bisschen darauf an, was du für Funktionen hast, ob sie überall differenzierbar sind etc.
Vielleicht könntest du nochmal deine konkreten Funktionen nennen?
Man könnte halt (wenn differenzierbar) zum Beispiel zeigen, dass neben dem linkesten oder rechtesten Schnittpunkt beide Funktionen einen monotonen entgegengesetzten Anstieg haben.
(falls man das Glück hat einen so schönen Fall vorliegen zu haben)
Oder zumindest, dass die neben dem Schnittpunkt obere Funktion stärker steigt oder weniger fällt vom Schnittpunkt weg (dann muss man aber aufpassen das schön ordentlich und korrekt zu machen).
Vielleicht hilft dir das schon, ansonsten bitte nochmal deine Funktionen nennen!
Du darfst außerdem der Vollständigkeit halber auch nicht vergessen zu zeigen, dass zwischen deinen Schnittpunkten kein weiterer existiert, aber das wird wahrscheinlich relativ simpel möglich sein.
Liebe Grüße
Jojoliese
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Neben dem rechten Schnittpunkt ist die Steigung von f(x) immer größer, als die von p(x).
Neben dem linken Schnittpunkt anders herum.
Deine Funktionen sind zum Glück wunderbar stetig, also können wir differenzieren.
Du kannst zum Beispiel einfach die Ableitung punktweise vergleichen. Ich mach das Mal eben für rechts, dauert einen Moment ;) ─ jojoliese 24.09.2019 um 11:07
\( f(x)^{\prime}= e^{x}(x-2)x \)
\( p(x)^{\prime}= - \frac{5}{4} x + \frac{7}{2} \)
Jetzt kannst du für deinen zweiten Schnittpunkt \( x_{2} \approx 2,49478 \) den Anstieg ausrechnen:
\( f(x_{2})^{\prime} \approx 15 \)
\( p(x_{2})^{\prime} \approx 0.375 \)
In dem Schnittpunkt steigt also f stärker.
Außerdem kannst du für größere positive x folgern, dass \( p(x)^{\prime} \) fällt, da \( p(x)^{ \prime \prime } = - \frac{4}{5} \), während \( f(x)^{\prime} \) ziemlich eindeutig steigt ;)
Das wäre für rechts ausreichend ─ jojoliese 24.09.2019 um 11:19
Für die Mitte musst du dann aber trotzdem noch eine Lösung finden (z.B. bis x=2 wieder die Monotonie untersuchen und danach zeigen, dass für x>2 das Newton-Verfahren gegen den zweiten Schnittpunkt konvergiert)
Oder irgendwas in die Richtung...
(Hab ich jetzt nicht ausprobiert, sei kreativ ;) ─ jojoliese 24.09.2019 um 11:23
p ist monoton wachsend, f hat dort einen Tiefpunkt und fällt davor und wächst danach.
Damit kannst du auch schon logisch folgern, dass der zweite Schnittpunkt dann der letzte ist (aber erwähnen solltest du es) ─ jojoliese 24.09.2019 um 11:27
Danke, für die Ansätze sowas in der Art habe ich mir schon gedacht, wo ich per Iteration via Newtonverfahren nicht drauf kommen würde.Die Funktionen lauten:
f(x)= (x-2)² ⋅ e^x
p(x)= -15/24x^2+21/6x-15/8
D.h. ich es reicht, dass ich beweise dass f(x) nach dem ersten Schnittpunkt streng monoton steigt und p(x) fällt?Wie mach ich das gegen - unendlich ? Die Ableitungen bilden und die Steigung der Tangente angeben?
─ alexwei 24.09.2019 um 10:24