Wenn der Entwicklungspunkt die Stelle \(x=0\) ist, nennt man die Taylorreihe Maclaurin Reihe.

Sprich \(f(x) = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\).

Die ersten drei Ableitungen der Log-Funktion lauten:

\(f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\\
f''(x) = -\dfrac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}\\
f'''(x) = \dfrac{4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\)

Das Taylorpolynom 3. Grades wäre 

\(T_{0;3}(x) = \dfrac{\ln(1+0^2)\cdot x^0}{0!} + \dfrac{f'(0) \cdot x^1}{1!} + \dfrac{f''(0)\cdot x^2}{2!} + \dfrac{f'''(0)\cdot x^3}{3!}= x^2-\dfrac{x^4}{2}\).

Ich habe bereits angefangen, eine allg. Bildungsvorschrift für die Ableitung zu entwickeln, evtl. findest du aber auch eine andere / einen anderen Weg:

\(f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1}\cdot \dfrac{2(n-1)!\: \cdot \: ?}{(x^2+1)^n}\)