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Du kannst eine nicht quadratische Matrix nicht im klassischen Sinne invertieren.
Musst du hier aber auch gar nicht!
Wenn du nochmal genau hinschaust fallen dir sicher einige Ähnlichkeiten zwischen deinen Matrizen A und B auf, z.B. ist die letzte Zeile gleich.
Im Prinzip kannst du 2 Veränderungen feststellen:
(1) erste und zweite Zeile würden vertauscht
(2) in der mittleren Spalte sind in der ersten und zweiten Zeile die Einträge null
Durch Multiplikation mit quadratischen Matrizen kann man an jeder Matrix Operationen wie Vertauschungen, Vielfache, ... durchführen.
Ich denke darum geht es hier, dir das zu überlegen.
Die Multiplikation mit der Einheitsmatrix liefert wieder die originale Matrix, da sie einfach die erste Zeile wieder in die erste Zeile schreibt, die zweite in die zweite und so weiter.
\( \begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array} \)
Wenn du also die ersten beiden Zeilen vertauschen möchtest, musst du dafür sorgen, dass sie die erste Zeile in die zweite schreibt und die zweite in die erste. Das gelingt so:
\( P = \begin{array}{rrr}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array} \)
Jetzt willst du außerdem noch die 3 und die 8 löschen. Hier kommt dir die Form der dritten Zeile zu Hilfe.
Wenn du von der ersten Zeile 3 Mal die dritte subtrahierst, dann erhälst du die gewünschte Form, da die dritte Zeile nur im dritten Eintrag eine 1 hat.
Und wenn du von der zweiten Zeile 8 Mal die dritte subtrahierst, erhälst du dort die ebenso gewünschte Form.
Das gelingt also mit folgender Matrix:
\( Q = \begin{array}{rrr}
1 & 0 & -3 \\
0 & 1 & -8 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array} \)
Hier müssen wir allerdings beachten, dass wir zuerst subtrahieren (sonst müssten wir noch die -3 und die -8 tauschen).
Jetzt multiplizierst du die Matrizen, deren Operationen du in einer Reihenfolge ausführen möchtest, von rechts nach links.
Hier also \( P \cdot Q \).
Dadurch erhälst du die Matrix
\( S = \begin{array}{rrr}
0 & 1 & -8 \\
1 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array} \)
Und das ist dein Ergebnis, probier es doch selbst nochmal aus, dass es aufgeht!
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Naja, hier wollen sie auf jeden Fall einen solchen Ansatz haben... Es gibt da schon noch Theorien, ich hab Grade Moore-Penrose-Inverse für nicht quadratische Matrizen oder Pseudoinverse gelesen, wenn man mit Nullen zur quadratischen auffüllt und dann eine nicht invertierbare quadratische Matrix behandelt... Aber das hatten wir selbst im 5ten Semester Mathe noch nicht dran und wenn ihr das noch nicht hattet, wird das sicher auch nicht von dir verlangt werden!
Aber falls du dich informieren möchtest sind das deine Google-Suchbegriffe ;) ─ jojoliese 26.09.2019 um 17:36
Das ist eine Übung zur ersten Kurseinheit zu "Mathematische Grundlagen", Mathe und Informatik Bachelor, FernUni Hagen. ─ stehgold 26.09.2019 um 17:38
Aber da muss es doch auch einen rechnerischen Ansatz geben. Das ist hier ja ein wirklich einfach gehaltenes Beispiel.
Danke,
Stephan ─ stehgold 26.09.2019 um 17:27