Nicht Invertierbarkeit einer quadratischen Matrix zeigen

Aufrufe: 5122     Aktiv: 27.09.2019 um 16:46
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Wie zeige/beweise ich, dass eine quadratische Matrix nicht invertierbar ist, wenn sie eine Zeile bzw. Spalte mit lauter Nullen enthält?

Mein Beweis-Ansatz würde sich auf die Einheitsmatrix beziehen. Inverse Matrix mal Einheitsmatrix ergibt ja wieder die ursprüngliche Matrix. Und die Einheitsmatrix hat in der Diagonalen nur den Wert 1. 

Bin mir nicht sicher, ob mein Ansatz allerdings richtig ist und wie ich das zum Beweis ausbaue.

Wie ermittle ich darüber hinaus eine Matrix M22(R), die nicht invertierbar, deren Einträe alle <> 0 sind?

 

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Mein Ansatz ginge über die Determinante:

Wenn du in einer quad. Matrix eine Nullzeile bzw. Nullspalte hast, so ist ihre Determinante null. Es existiert jedoch nur dann eine inverse Matrix, wenn die Determinante ungleich null ist. 


Du müsstest dir eine Matrix überlegen, bei der z.B. die Spalten / Zeilen linear abhängig sind. Z.B. 

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\) ist singulär.

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