Question

Jordan Normalform

Aufrufe: 1791 Aktiv: 09.10.2019 um 10:28

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Hallo,

ich rätsel seit einigen Tagen über die Jordan Normalform und glaube sie mittlerweile einigermaßen verstanden zu haben - ich habe allerdings noch einige Unklarheiten.

Meine erste Frage bezieht sich darauf, dass man (u.U.) 1en auf der Nebendiagonalen hat. Ist das einfach die "nächst mögliche" Form zur Diagonalform? Genauso müsste es ja mit 2en dan gehen (unter Anpassung sämtlicher Verfahren), oder?

Das Verfahren um die Hauptvektoren zu bestimmen ist mir ebenfalls nicht zu 100%. Wenn ich es richtig verstanden habe, bestimmt man für die Matrix $A \in \mathbb{C}^{n\times n} $ mit Eigenwert $ \lambda $ $ \ker({A-\lambda E_n})^k $ solange, bis $ \ker{A-\lambda E_n}^k=\mathbb{C}^n $. Dann nimmt man sich einem Vektor aus dem größten Kern (der nicht $ \mathbb{C}^n $ ist) und nicht im zweit größten Kern liegt. Danach findet man die übrigen Hauptvektoren über die Rekursion $ b_{n-1}=(A-\lambda E_n)b_n $. Wie man auf diese Rekursion kommt hab ich anschaulich glaube ich verstanden, nur ist mir noch etwas unklar wieso man die Matrizen potenzieren muss und immer die Kerne betrachtet?

Die Jordan Normalform kann man dann über eine Matrizentransformation bestimmen (oder sich die möglichen Jordanblöcke durch die geometrischen Vielfachheiten überlegen). Gibt es hier noch andere Möglichkeiten, um die Jordan Normalform zu gewinnen?

Das ganze Thema taucht im Zusammenhang von gewöhnlichen DGL Systemen auf.

Danke im Voraus.

Grüße,

h

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gefragt 06.10.2019 um 10:35

wirkungsquantum
Student, Punkte: 2.46K

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1 Antwort

christian_strack · Answer 1 · 2019-10-07T16:21:19Z

Hallo,

die Diagonalform ist ein Spezialfall der Jordanschen Normalform. Desweiteren ist die Jordansche Normalform ein Spezialfall der Weierstraß-Normalform.

Bei der Bestimmung der Normalformen ist die Grundidee ein Verfahren zu entwickeln bei der eine eindeutige Matrix (bis auf Vertauschung der Hauptvektoren) herauskommt die immer noch die selbe Abbildung beschreibt (nur bezogen auf eine andere Basis) und dabei einfache Gestalt hat.
Dadurch ist es möglich zu sehen, welche Abbildungen in verschiedenen Koordinatensystemen den selben "Prozess" beschreiben.

Also erstmal ja, es ist die "nächst mögliche" Form.

Nun ist die Idee dieser Normalformen den Raum so zu zerlegen, das wir invariante UVR erhalten. Beim diagonalisieren ist dies sehr einfach, da die Eigenvektoren auf ein vielfaches ihrere selbst abgebildet werden. Somit sind die Eigenräume sofort invariant.

Nun können wir aber keine Eigenräume aufstellen. Wir suchen also nach Räumen die wieder invariant unter der Abbildung sind.

Darein spielt der Fakt, das jeder trigonalisierbare Endomorphismus als Summe von einem diagonalisierbaren Endomorphismus und einem nilpotenten Endomorphismus zerlegt werden kann.

$$ \varphi = \varphi_{diag} + \varphi_{nil} $$

Das schreiben wir um in

$$ \varphi_{nil} = \varphi - \varphi_{diag} $$

Also gilt ab einem bestimmten $ k $

$$ \varphi_{nil}^k(v) = 0 = (\varphi - \varphi_{diag})^k $$

Das bedeutet aber auch, dass

$$ span(ker(\varphi - \varphi_{diag})^k) = \mathbb{C}^n $$

Wenn wir die Abbildung auf die Haupträume einschränken, haben wir nur einen Eigenwert ( jeder Eigenraum hat nur einen Eigenwert $ \lambda $) und erhalten aus $ \varphi_{diag} \Rightarrow \lambda \ id $.

Deshalb betrachten wir immer den Kern.

Noch als Korrektur. Du wählst den ersten Hauptvektor aus dem Kern der genau $ \mathbb{C}^n $ ist und nicht dem davor.

Hmm eine weitere Berechnung kenne ich persöhnlich jetzt nicht, aber das soll nichts heißen. Ich habe in der Vorlesung nur den Weg über die Hauptvektoren kennen gelernt und den anderen auch erst im späteren Verlauf mal im Internet gefunden.

Achja ich glaube das man den Algorithmus nicht so umschreiben kann, das auf der Nebendiagonalen Zweien auftauchen anstatt Einsen. Aber um das ganz sicher sagen zu können, muss ich mich nochmal mit der Herleitung genau auseinander setzen.
Ich werde mich deshalb noch einmal melden.

Ich hoffe ich konnte alle Fragen beantworten, ansonsten melde dich nochmal.

Grüße Christian