Ich halte es mal einfach, da ich sonst ewig viel schreiben müsste und jede Kleinigkeit erklären will ich nicht.

Wir machen nur einen Umlauf (ich weiß gar nicht wieso man das mehrmals machen sollte). D.h. die Formel ist

\( \int_\gamma f(z)dz = 2\pi i \sum_{z_k}Res_{z_k}(f) \)

Das heißt der Wert dieses Kurvenintegrals hängt nur von der Summe der Residuen ab. Wie man diese berechnet kommt drauf an, ob es sich um eine eine Singularität 1. Ordnung, allgemein n-ter Ordnung handelt oder ob eine wesentliche Singularität vorliegt, ob die Funktion gebrochenrational ist usw.. Eine praktische Übersicht wie man das Residuum berechnet findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Residuum_(Funktionentheorie)#Praktische_Berechnung

Wie du im Link sehen kannnst, gibt es verschiedene Methoden, um diese zu berechnen bzw. ist es fallabhängig.

Z.B. entspricht der -1. Term \(c_{-1} \) der Laurentreihenentwicklung um die Polstelle \( z_0 = 0 \) dem Wert des Residuums.

Eine andere Möglichkeit ist:

\( Res_{z_0}(f)=\lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z) \)

d.h.

\( Res_{z_0=0}(f)=\lim_{z\rightarrow 0}(z)\cdot\frac{1}{z}=\lim_{z\rightarrow 0}1=1 \)

oder über

\(Res_{z_0}(f)=c_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma f(z)dz \)

Wir wählen als Weg einfach einen Vollkreis mit Radius R \( \gamma(t)=Re^{it} \) mit \( t\in [0,2\pi) \)

\(Res_{z_0=0}(f)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma f(z)dz=\frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi }f(\gamma(t))\gamma(t)'dt=\frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}}\cdot iRe^{it}dt = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}1dt = 1 \)

So kommst du auf das gewünschte Ergebnis von \( 2\pi i \)