Extrempunkte mit Variable

Aufrufe: 868     Aktiv: 11.11.2019 um 12:04
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Könnte mir einer bei folgender AUfgabe einmal bitte mit Rechenweg die Extrempunkte ausrechnen?

f(x)=xlnx-ax ; xe(1;10)

 

a) lokale Extrema + Funktionswerte 

 

b) a=2 -> globale Extrema + Wertebereich

 

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Student, Punkte: 26

 
hier ist der erste Rechenschritt der Ableitung
\(f'(x)=1\cdot ln(x) + x\cdot \frac{1}{x} - a = ln(x) +1 -a \)
Bedingung für ein Extremum ist, dass die 1. Ableitung an dieser Stelle Null ist.   ─   gardylulz 15.10.2019 um 18:38
Die Ableitungen konnte ich auch schon bestimmen -:)
Mir geht es um die Extrempunkte vor allem wegen der Abhängigkeit des x im Bereich von 1 bis 10   ─   akoethen 15.10.2019 um 19:36
sry, es hat mir den Kommentar zerschossen. Bin grad am Editieren.
  ─   gardylulz 15.10.2019 um 19:49
Die Schreibweise war falsch, da ich es nicht genau wusste wie eckige Klammern gehen. Dementsprechend ist die 1 und 10 mit einbegriffen.
Also ist a < 3,303 ?   ─   akoethen 15.10.2019 um 21:46
Wenn sie miteinbegriffen sind, dann ändern sich die Kleiner-Zeichen einfach zu "Kleiner-Gleich".
Ja, die obere Grenze ist \( a\leq ln(10)+1 \approx 3,303 \). Jetzt fehlt nur noch die untere Grenze.   ─   gardylulz 15.10.2019 um 21:51
Ok alles klar, sind dann die Funktionswerte?   ─   akoethen 15.10.2019 um 21:53
Nein, der Funktionswert ist das, was du rausbekommst, wenn du dein x in die Funktion f (nicht die Ableitung) einsetzt. Sagt doch schon der Name. Der "Wert" der "Funktion" (an der Stelle x).
   ─   gardylulz 15.10.2019 um 21:54
Könntest du mir sagen was das in meinem Fall ist?   ─   akoethen 15.10.2019 um 21:56
Sehe gerade, dass ich mich bei der Berechnung des Funktionswertes aus Versehen vertan habe. Es muss natürlich \( e^{a-1} \) eingesetzt werden und nicht plus. Rechnung erfolgt analog und Ergebnis ist dann \( -e^{a-1} \). Sry deswegen.   ─   gardylulz 15.10.2019 um 21:58
Alles klar. Für a=2 bekomm ich glaube selber hin. Aber könntest du mir nochmal bei dem Wertebereich helfen?   ─   akoethen 15.10.2019 um 22:00
Du weißt was der Wertebereich ist? Im Prinzip die Menge, auf die die Funktion ihren Definitionsbereich abbildet. Nehmen wir beispielsweise \( f(x)=x^2 \) und als Definitionsbereich \( x \in \mathbb{R} \), dann ist der Wertebereich \( [0;\infty[ \). Also im Prinzip alle möglichen y-Werte deiner Funktion. Bei sowas ist es eigtl. immer hilfreich sich eine Skizze mit paar markanten Punkten schnell zu skizzieren. (y-Achsenabschnitt, evtl. Nullstellen und Extrema)   ─   gardylulz 15.10.2019 um 22:04
Wie komm ich nochmal genau auf den Funktionswert -e^(a-1). Ein kleiner Rechenweg wäre schön :-)   ─   akoethen 16.10.2019 um 08:29

Ein Rechenweg zum Wertebereich wäre auch nicht schlecht.
   ─   akoethen 16.10.2019 um 08:38
Einfach den Wert \( e^{a-1} \) in die Funktion einsetzen. Bisschen Rechenübung schadet dir nicht, wie ich hier sehe. Und ein allgemeines Rezept für den Wertebereich gibt es nicht. Schauen, ob es globale Minima und oder Maxima hat, als auch das Verhalten an Polstellen sowie im Unendlichkeiten hilft da.   ─   gardylulz 16.10.2019 um 16:23
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Da bei mir ständig etwas kaputt geht hier nochmal. Nun, die Stelle des Extrempunktes liegt bei \( x = e^{a-1} \). Du weißt, dass \( x\in (1;10) \). (ich nehme an, dass 1 und 10 ausgeschlossen laut deiner Schreibweise) Also weißt du, dass \( 1 < x < 10 \) gelten muss bzw. \( 1 < e^{a-1} < 10 \) oder noch bisschen aufgedröselt \( 1 < e^{a-1}\) sowie \(e^{a-1} < 10\). Das kannst du nun nach \( a \) auflösen, um bestimmen zu können, für welche \( a \) dein \( x\) im oben genannten Intervall liegt. Gibt es zur a) noch Fragen?
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