Gauss - LGS lösen in Abhängigkeit von a -> Wo ist mein Fehler?

Aufrufe: 1646     Aktiv: 21.10.2019 um 17:23
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https://fragen.letsrockmathe.de/question/10391/aussagen-zu-losungsmenge-in-abhangigkeit-von-variable-a/

Hallo,

ich hänge am selben Problem. Ich versuche jetzt seit gestern das Ding in Treppennormalform zu bringen. Ich habe da auch schon so einige Kandidaten herausbekommen, wenn ich die "Lösungen" aber teste, scheitert das jedesmal. Der obige Faden ist schon als gelöst markiert, deswegen öffne ich mal einen neuen.

Notation:

  • \( T_{ab}(n) \) - Addiere das n-fache der Zeile b zu Zeile a
  • \( D_a(n) \) - Multipliziere Zeile a mit n
  • \( P_{ab} \) - Vertausche Zeilen a und b

Setze ich das mal in die erste Zeile ein:

\( 1x_1 -1x_2 -1x_3 = 2 \)

\( \frac{-a}{-a-2}-\frac{1}{-a-2}-\frac{1}{-a-2}=\frac{-a-2}{-a-2}\neq 2 \)

Schon gestorben.

So 3-4 Stunden (netto) habe ich damit schon verbraten...

Edit: Nach Korrektur also so:

Nope, zweite Korrektur jetzt passt es. Ich habe mir eine Negierung gespart, dafür vorher mit dem negitiven Kehrwert multipliziert.

Dann passt die Probe auch.

 \( x_1-x_2-x_3=2 \)

\( 1+\frac{-a}{-a-2}-(\frac{1}{-a-2})-(\frac{1}{-a-2})=1+\frac{-a-2}{-a-2}=2 \)

\( x_1+ax_3=1 \)

\( 1+\frac{-a}{-a-2}+\frac{a}{-a-2}=1+0=1 \)

\( x_1+ax_2=1 \)

Da \( x_2=x_3 \) passt das auch.

 

Daraus folgt dann dass es mehrere oder keine Lösung gibt, genau eine Lösung gibt es nicht. Für \( a=-2 \) sind die Quotienten nicht definiert. \( \Rightarrow\mathcal{L}=\begin{pmatrix}1+\frac{-a}{-a-2}\\\frac{1}{-a-2}\\\frac{1}{-a-2}\end{pmatrix}, a\in\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace \)

Righto?

 

Edit: Andere Vorgehensweise und Lösungen für alle drei Aufgaben. Die 0 und -2 sind mir klar aber wie kommt man auf a=1 ohne Trial&Error?

 

Lgs
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Hallo,

von der 8ten zur 9ten Matrix ist das Ergebnis der letzten Zeile nicht richtig. Es muss

$$ 1 + \frac  {-a}  {-a-2} = 1 + \frac a {a+2} $$

sein.

Wenn du das dann alles einsetzt, hast du noch zusätzlich den Summanden \( +1 \) und da 

$$ \frac {-a-2} {-a-2} = 1 $$

erhalten wir so das Ergebnis \( 2 \).

Grüße Christian

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Hallo, habe ich multipliziert statt addiert? Ich krickel mal auf Papier...   ─   stehgold 19.10.2019 um 16:26
So jetzt habe ich den Gauss erschlagen. Ist meine Folgerung korrekt? - Ich habe oben editiert.   ─   stehgold 19.10.2019 um 17:24
Sieht alles wunderbar aus :)

Grüße Christian   ─   christian_strack 21.10.2019 um 00:14

Hallo, so bekomme ich die Aufgabe aber nicht komplett gelöst. Ich finde damit kein a das zu genau einer Lösund des LGS führt. Ich habe den Ansatz hier https://fragen.letsrockmathe.de/question/10391/aussagen-zu-losungsmenge-in-abhangigkeit-von-variable-a/ genommen und auch a=1 als Lösung dafür geklaut. 0 und -2 waren mir ziemlich offensichtlich, aber wie kommt man auf die 1? Ich mache dafür mal einen neuen auf.
   ─   stehgold 21.10.2019 um 12:17
Nein du brauchst keinen neuen aufmachen.
Die \( 1 \) wurde hier nur als Beispielzahl gewählt. Du erhälst genau eine Lösung in allen anderen Fällen, also wenn
$$ a \in \mathbb{R} \backslash \{-2,0\} $$

Grüße Christian   ─   christian_strack 21.10.2019 um 12:32

Nein, schau mal ganz oben die Aufgabenstellung an. Mit dem anderen Ansatz kommt man auf a=1-> genau eine Lösung, a=-2-> keine Lösung, a=0-> unendliche viele Lösungen. Und da wüsste ich gerne wie man auf die 1 kommt ohne auf Trial&Error-Zufallsfunde zu hoffen.

Ich editiere das dann oben mal rein.
   ─   stehgold 21.10.2019 um 15:12
Dann setzen wir doch einfach mal beispielsweise \( a= 3 \) und schauen was passiert.

$$ \left( \begin{matrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)^{T_{21}(-1) \land T_{31}(-1)} \sim \left( \begin{matrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{matrix} \right)^{T_{32}(-4)} \sim \left( \begin{matrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -15 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $$

Man sieht ab hier also schon, dass dieses LGS eine eindeutige Lösung hat.
Wie gesagt ich bin mir sicher das dies eben für alle \( a \in \mathbb{R} \backslash \{ -2,0 \} \) gilt.

Grüße Christian   ─   christian_strack 21.10.2019 um 16:16
Auch wieder wahr. Also war der erste Ansatz doch nicht sooo daneben. Der hat nur den Fall der unendlich vielen Lösungen für a=0 nicht offenbahrt. Dann muss ich nochmal korrigieren.   ─   stehgold 21.10.2019 um 16:20
Ja genau.
Denn die einzigen Widersprüche die bei der Berechnung auftreten können sind eben diese die durch die Fälle unendliche viele Lösungen oder keine Lösung auftreten.

Grüße Christian   ─   christian_strack 21.10.2019 um 16:23

Oh, Moment. Das gilt dann immer. Exakt eine Lösung sind alle Fälle, die nicht zu keiner oder unendlich vielen Lösungen führen.

In der Korrektur steht dann nur "Für alle \( a\in\mathbb{R}\setminus\lbrace -2,0\rbrace \) hat das LGS genau eine Lösung.
   ─   stehgold 21.10.2019 um 16:24
Oh jetzt hab ich ausversehen meinen Post davor überschrieben.

Aber ja genau das ist die einzige Korrektur die du machen musst. :)   ─   christian_strack 21.10.2019 um 16:27
Wichtig dabei, wir reden hier über inhomogene LGS. Bei homogenen ist die Vorgehensweise ähnlich nur die Interpretation etwas anders.   ─   christian_strack 21.10.2019 um 16:29

Ja klar, da bleiben rechts des Trennstriches eh immer nur Nullen. Da kann ich vervielfachen bis ich umfalle. Hier war ein \( Ax=b,b=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} \) gegeben.
   ─   stehgold 21.10.2019 um 16:31
Genau :D
Wunderbar, dann scheint alles klar zu sein :)
Wenn nicht melde dich gerne wieder.

Grüße Christian   ─   christian_strack 21.10.2019 um 16:32
So, jetzt habe ich oben die korrigierte Fassung eingebunden. (Das unterste Bild)
Danke,Stephan   ─   stehgold 21.10.2019 um 17:06
So stimmt es :)   ─   christian_strack 21.10.2019 um 17:23

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