Hallo,

ich geh mal deine erste Spalte durch und bei den anderen versuchst du es am besten dann mal selbst.

$$ a_n = n $$

Nach oben beschränkt bedeutet, das es eine Zahl gibt, die größer(gleich) ist als alle Folgeglieder.

Da diese Folge immer weiter wächst

$$ a_n = 1 ,2,3,4,5,6, \ldots $$

kann diese nicht nach oben beschränkt sein.

Nach unten beschränkt bedeutet, das es eine Zahl gibt, die kleiner(gleich) ist als alle Folgeglieder.

Nun fängt die Folge mit dem Folgeglied \(1 \) an und wird danach nur größer.

Somit haben wir bereits eine kleinste Zahl gefunden. Damit ist die Folge durch die \( 1 \) nach unten beschränkt.

Beschränkt bedeutet, dass die Folge sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. Da unsere Folge nur nach unten beschränkt ist, ist sie nicht beschränkt.

Für die Monotonie muss entweder

$$ a_n \geq a_{n+1} \\ \text{oder} \\ a_n \leq a_{n+1} $$

gelten. Wir setzen 

$$ n \geq n+1 $$ 

Diese Aussage stimmt nicht, denn für alle Zahlen, ist \( n+1 \) immer größer als \( n \).

$$ n \leq n+1 $$

Aus der selben Begründung muss das gelten. Somit ist die Folge Monoton steigend und es liegt Monotonie vor.

Grüße Christian