Hallo,
du möchtest die Ungleichung
$$\frac{|x|-1}{x^2-1}\geq\frac{1}{2}$$
lösen. Du kannst die Gleichung umstellen. Ein erster Schritt wäre die Brüche aufzulösen. Dabei musst du aber schon aufpassen! Falls \(x^2>1\) gilt, bleibt das Ungleichheitszeichen stehen, ansonsten dreht es sich um.
Fall 1: \(x^2>1\) führt zu:
$$2|x|-2\geq x^2-1$$
Jetzt kannst du eine Fallunterscheidung machen:
Fall 1a: \(x>1\) führt zu:
$$2x-2\geq x^2-1\quad\Leftrightarrow\quad 0 \geq x^2-2x+1$$
Das steht aber im Widerspruch zu \(x>1\), sonst käme
$$0\geq x^2-2x+1=(x-1)^2>0$$
heraus, also \(0>0\). Somit kann dieser Fall nicht eintreten.
Fall 1b: \(x<-1\) führt zu:
$$-2x-2\geq x^2-1\quad\Leftrightarrow\quad 0 \geq x^2+2x+1$$
Das steht aber im Widerspruch zu \(x<-1\), sonst käme
$$ 0 \geq x^2+2x+1=(x+1)^2>0$$
heraus, also \(0>0\). Somit kann dieser Fall nicht eintreten. Insbesondere muss \(x^2<1\) gelten, denn \(x=1\) ist verboten, weil du sonst duch Null teilst!
Fall 2: \(x^2<1\) führt zu:
$$2|x|-2\leq x^2-1$$
Für \(0\leq x<1\) folgt:
$$2x-2\leq x^2-1\quad\Leftrightarrow\quad 0 \leq x^2-2x+1=(x-1)^2$$
Diese Aussage ist wahr, also sind \(x\in[0,1)\) zugelassen.
Für \(-1< x\leq0\) folgt:
$$-2x-2\leq x^2-1\quad\Leftrightarrow\quad 0 \leq x^2+2x+1=(x+1)^2$$
Diese Aussage ist auch wahr, also sind \(x\in(-1,0]\) zugelassen.
Somit ist insgesamt \(x\in(-1,1)\) zulässig für die Ungleichung.
Die \(p\)-\(q\)-Formel bringt dir hier leider nicht so viel. Höchstens eine Aussage dafür, wann deine Ungleichung strikt erfüllt ist.
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