Bei rekursiv definierten Folgen ist ein guter Versuch um den Grenzwert zu finden die Überlegung, dass für n gegen unendlich die Folgeglieder ja fast gleich sein müssen und deswegen setzen wir \( x_{n+1} = x_{n} \).

Also \(  x= x^{2} +\frac{1}{4} \).

Das ist eine quadratische Gleichung, deren Lösung ich dir einfach Mal zutraue. Die Lösung ist x=0,5.

Das ist noch kein Beweis, wird uns aber helfen. Wenn die Folge konvergiert, dann gegen diesen Wert!

Ich würde jetzt doch über Monotonie und Beschränktheit gehen.

Da du eine reelle Zahlenfolge hast, ist diese genau dann konvergent, wenn monoton und beschränkt. 

Das Cauchy-Kriterium greift hier zwar auch, ist aber deutlich leichter zu händeln, wenn die Folge explizit definiert ist.

Ich würde zuerst die Beschränktheit zeigen und dann die Monotonie, aber nur, weil ich das hier als leichter empfinde.

Beschränkt heißt ja erstmal nur, dass wir irgendeine (in dem Falle obere) reelle Schränke haben, diese muss nicht zwingend der Grenzwert sein.

Wir haben:

\( x_{n+1}= x_{n}^{2} +\frac{1}{4} \) und \( x_{0} = 0 \)).

Ich würde es hier induktiv machen und die obere Grenze 0,5 (die wir ja oben als Grenzwert vermuten) zeigen:

Für n=0 gilt offensichtlich \( 0 = x_{0} < 0,5 \).

Nun folgern wir aus \( x_{n} < 0,5 \), dass gilt \( x_{n+1} < 0,5 \):

\( x_{n+1}= x_{n}^{2} +\frac{1}{4} < (\frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \)

Also \( x_{n+1} < 0,5 \). Die Folge ist beschränkt.

Jetzt zeigen wir die Monotonie \( x_{n+1} > x_{n} \):

Man kann die Definition auch umschreiben als \( x_{n+1} - x_{n} > 0 \) und

\( x_{n+1} -x_{n} = x_{n}^{2} +\frac{1}{4} -x_{n} \)

Das forme ich Mal ein bisschen um:

\(  x_{n}^{2} +\frac{1}{4} -x_{n} = \frac{4x_{n}^{2} - 4x_{n} +1}{4} = \frac{2x_{n}(2x_{n} -1)-(2x_{n} -1)}{4} = \frac{(2x_{n} -1)(2x_{n} -1)}{4} = \frac{(2x_{n} -1)^{2}}{4} >0 \)

Da haben wir es endlich ':D

Aus Monotonie und Beschränktheit folgt (bei reellen Folgen) die Konvergenz der Folge.