Du hast hier in der vorletzten Zeile folgendes:

\(\frac{a}{a+1} - \frac{1}{2a} + \frac1a\)

Nun willst du alles auf einen Bruch schreiben. Das kann man machen, indem man den Hauptnenner findet und die ganzen Brüche entsprechend erweitert oder in dem man einfach einen beliebigen Nenner findet. Wichtig ist, dass die Nenner dieselben sind, nur dann kannst du die Zähler addieren.

Der Unterschied zwischen "Hauptnenner" und "(beliebiger) gemeinsamer Nenner" ist, dass beim Hauptnenner das kgV genutzt wird um den gemeinsamen Nenner zu bilden, also das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.

Genug mit der Theorie: Will/Kann man den kgV nicht bilden, dann bildet man am einfachsten einen gemeinsamen Nenner, wenn man diese miteinander multipliziert...entsprechend müssen die Brüche erweitert werden.

\(\frac{a}{\color{red}{a+1}} - \frac{1}{\color{green}{2a}} + \frac{1}{\color{blue}a}
= \frac{a\cdot\color{green}{2a}\cdot\color{blue}a}{\color{red}{(a+1)}\cdot\color{green}{2a}\cdot\color{blue}a} - \frac{1\cdot\color{red}{(a+1)}\cdot\color{blue}a}{\color{green}{2a}\cdot\color{red}{(a+1)}\cdot\color{blue}a} + \frac{1\cdot{\color{red}{(a+1)}}\cdot\color{green}{2a}}{\color{blue}a\cdot\color{red}{(a+1)}\cdot\color{green}{2a}}\)

Alles klar?