Okay, also was haben wir gegeben:

Einen Quader, mit Grundfläche \( a \cdot a \) und Höhe h, und Oberfläche \(A_{O}=24m^{2} \).

Wir wollen das Volumen V maximieren und dann die Höhe h wissen.

Stellen wir zunächst die zu maximierende Funktion auf: \( V=a \cdot a \cdot h \). 

Da wir eigentlich nur die Oberfläche gegeben haben, ist es sinnvoll sich Mal eine Formel dazu zu überlegen:

Für die Oberfläche summieren wir die Fläche aller Seiten. Da wir eine quadratische Grundfläche haben, haben wir zwei Mal diese und vier gleiche Rechtecke an den Seiten:

\( A_{O} = 2 \cdot a \cdot a + 4 \cdot a \cdot h = 24m^{2} \)

Das stellen wir Mal nach h um, damit wir es in die Zielfunktion einsetzen können:

\( h = \frac{24m^{2} - 2 \cdot a \cdot a}{4 \cdot a} \)

Damit erhalten wir in der Zielfunktion:

\( V=a \cdot a \cdot \frac{24m^{2} - 2 \cdot a \cdot a}{4 \cdot a} =a \cdot \frac{24m^{2} - 2 \cdot a \cdot a}{4}=- \frac{1}{2} a^{3}  + 6m^{2} \cdot a\)

Jetzt musst du also schauen für welches a das maximal wird.

Also ableiten:

\( V'(a)= - \frac{3}{2} a^{2}  + 6\)

Das ist eine Parabel, welche nach unten geöffnet ist und um +6 nach oben verschoben, sie hat also zwei Nullstellen. Die kannst du bestimmt ausrechnen.

Sie liegen bei -2 und 2, wobei -2 für die Länge von a wenig Sinn macht, also ist \( a=2 \). Außerdem haben wir bei -2 einen Übergang vom Negativen ins Positive, also ein Minimum, und wir suchen ja das Maximum, das damit eindeutig bei 2 liegt.

Damit kannst du h ausrechnen, durch die Formel, die wir oben schon rausgekriegt haben:

\( h = \frac{24m^{2} - 2 \cdot a \cdot a}{4 \cdot a} \)

Damit haben wir h=2, also einen Würfel!!

Du kannst jetzt nochmal prüfen, ob wirklich \(24m^{2} \) für die Oberfläche rauskommt :)