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Hallo,
das ganze ist bei mir leider schon etwas her. Aber ich meine man kann über einfache Funktionen mit den Konvergenzsätzen ein Ober- und Unterintegral definieren und zeigen, dass die Ober- und Untersumme stehts größer bzw kleiner gleich sind.
Wenn nun die Funktion riemann integrierbar ist, sind Ober und Untersumme gleich und somit ist die Funktion sofort Lebesgue-integrierbar.
Ich hoffe das hilft dir weiter, ansonsten sag mir einmal wie ihr am Ende das Lebesgue Integral definiert habt.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Ich habe die Definition mal oben in meine Frage eingefügt, denn ich weiß jetzt immer noch nicht genau wie ich von den Ober- und Untersummen dann auf das Lebesgue-Integral komme.
─
joline
26.10.2019 um 15:03
Es gilt
$$ \int f \mathrm{d}\lambda = \sup \sum_{k=1}^m c_k \lambda^n (E \cap E_k) = \chi $$
Dies ist das Supremum über alle einfachen Funktionen. Eine Treppenfunktion ist eine einfache Funktion und insbesondere messbar. Die Endlichkeit eines Summanden müsste man nun noch aus der riemann Integrierbarkeit ziehen. \( \Rightarrow \) Lebesgueintegrierbar
Nun ist \( \chi \) das Supremum aller einfachen Funktionen, also muss es größer gleich der Untersumme sein.
Nun muss man denke ich noch zeigen, dass die Obersumme größer gleich \( \chi \) ist. Dies sollte über das Supremum der Funktionswerte funktionieren.
Da die Funktion nun Riemann integrierbar ist, sind im Grenzfall die Ober und Untersumme gleich und somit ist der Wert des Lebesgueintegrals gleich dem Wert des Riemannintegrals.
Was meinst du zu der Beweisidee?
Grüße Christian ─ christian_strack 27.10.2019 um 13:28
$$ \int f \mathrm{d}\lambda = \sup \sum_{k=1}^m c_k \lambda^n (E \cap E_k) = \chi $$
Dies ist das Supremum über alle einfachen Funktionen. Eine Treppenfunktion ist eine einfache Funktion und insbesondere messbar. Die Endlichkeit eines Summanden müsste man nun noch aus der riemann Integrierbarkeit ziehen. \( \Rightarrow \) Lebesgueintegrierbar
Nun ist \( \chi \) das Supremum aller einfachen Funktionen, also muss es größer gleich der Untersumme sein.
Nun muss man denke ich noch zeigen, dass die Obersumme größer gleich \( \chi \) ist. Dies sollte über das Supremum der Funktionswerte funktionieren.
Da die Funktion nun Riemann integrierbar ist, sind im Grenzfall die Ober und Untersumme gleich und somit ist der Wert des Lebesgueintegrals gleich dem Wert des Riemannintegrals.
Was meinst du zu der Beweisidee?
Grüße Christian ─ christian_strack 27.10.2019 um 13:28
Das hört sich ganz gut an. Ich werde es mal so versuchen. Danke :)
─
joline
29.10.2019 um 08:45
Gerne.
Wenn du nicht weiter kommst melde dich gerne nochmal, dann grübeln wir etwas zusammen weiter :)
Grüße Christian ─ christian_strack 29.10.2019 um 12:39
Wenn du nicht weiter kommst melde dich gerne nochmal, dann grübeln wir etwas zusammen weiter :)
Grüße Christian ─ christian_strack 29.10.2019 um 12:39