Steng monoton steigend: \(f'(x) > 0\); monoton steigend: \(f'(x) \geq 0\)

Steng monoton fallend: \(f'(x) < 0\); monoton fallend: \(f'(x) \leq 0\)

a) \(f'(x) = 5x^4 + 3x^2 = x^2(5x^2+3)\)

\(x^2 \geq 0\) und \(5x^2+3 > 0\). Somit ist \(f\) auf \(\mathbb{R}\) monoton steigend.

b) \(f'(x)=4x^3+1\)

\(4x^3 +1 > 0 \\
\Leftrightarrow x^3 > -\dfrac{1}{4} \\
\Leftrightarrow x > -\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}} = -\dfrac{\sqrt[3]{2}}{2} =: z\). 

Somit ist \(f\) auf \(]-\infty;z[\) streng monoton fallend und auf \(]z;\infty[\) s.m. steigend.

usw.