Question

Ax=b gegeben: Man bestimme die Lösung in Abhängigkeit von b.

Aufrufe: 961 Aktiv: 02.11.2019 um 10:29

1

Angabe: Gegeben ist $A \cdot x = b, b \in \mathbb{R}$ mit

$A = \left( \begin{array}{ccc}
3 & 2 & 4\\
2 & 5 & -1\\
5 & 7 & 3\\
\end{array} \right) $

a) Für welche $b \in \mathbb{R}^{3}$ existiert eine Lösung?
b) Man bestimme die Lösung in Abhängigkeit von b.

----

Lösung zu a)
$3II - 2I$ und
$3III - 5I$ :

$\left(\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 4\\
0 & 11 & -11\\
0 & 11 & -11\\
\end{array}\right)$

$III - II$ :

$ \left( \begin{matrix}
3 & 2 & 4 \\
0 & 11 & -11 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{matrix} \right) $

$b = \{b_1, b_2, b_3\}$

Erweiterte Koeffizientenmatrix (A erweitert mit b):

$ \left( \begin{array}{ccc|c}
3 & 2 & 4 & b_1\\
0 & 11 & -11 & b_2\\
0 & 0 & 0 & b_3\\
\end{array} \right) $

Antwort zu a:
Es existieren unendlich viele Lösungen für jene b, in denen die dritte Koordinate $b_3 = 0$ ist.
Sollte $b_3 \neq 0$ sein, so existiert keine Lösung.

Lösung zu b)
Leider häng ich hier fest und weiß nicht genau wie man eine Lösung in Abhängigkeit von b bestimmen soll, zumweil alle Koeffizienten in Gleichung III Null sind.

Teilen Diese Frage melden

gefragt 28.10.2019 um 14:54

patricksteiner
Student, Punkte: 34

Kommentar schreiben

2 Antworten

0

Hallo Christian,

Darf ich fragen warum ich nicht die Matrix zuerst in Stufenform bringen darf und dann sagen bei b3=0 hab ich unendlich viele Lösungen?

Teilen Diese Antwort melden Link

geantwortet 29.10.2019 um 08:55

[email protected]
Punkte: 10

Hallo,

die elementaren Zeilenumformungen erhalten zwar die Lösung eines Gleichungssystems, dazu musst du aber das ganze Gleichungssystem (mit Vektor $b$) umformen.
Stell dir die Matrix einmal als Abbildung vor. Elementare Zeilenumformungen erhalten nicht die Abbildung. Bedeutet, wenn wir die Matrix $ A $ umformen in Zeilenstufenform (nennen wir diese $ A_z $) dann haben wir eine neue Abbildung, also gilt im allgemeinen dann nicht mehr

$$ A_z x = b $$

Gucken wir uns das mal an einem trivialen Beispiel an.
Nehmen wir die Matrix

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

und nehmen wir mal an

$$ x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

sei unser Lösungsvektor. Dann gilt

$$ Mx = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Nun bringen wir die Matrix einmal in Zeilenstufenform

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Nun erhalten elementare Zeilenumformungen die Informationen des LGS, jedoch haben wir nur die Matrix anstatt des gemsamten LGS verändert, also erhalten wir mit dem selben Lösungsvektor (dieser darf ja nicht plötzlich ein anderer sein):

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Wir haben plötzlich einen neuen $ b $ Vektor. Wie können wir das in Einklang damit bringen, dass das LGS doch die Informationen erhalten soll?
Um auf die Zeilenstufenform zu kommen, habe ich die zweite Zeile minus der ersten gerechnet. Machen wir das doch auch mal mit unserem ersten $ b $ Vektor.

$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Wir erhalten also den Vektor $ b $ aus der Multiplikation mit der Matrix in Zeilenstufenform und unserem Lösungsvektor.

Also um es nochmal zusammenzufassen: Wenn wir das LGS verändern, müssen wir alles!! auf die gleich Art verändern, eben auch den Vektor $ b $. Ansonsten verändern wir das Gleichungssystem.

Ich hoffe es ist jetzt verständlicher.

Grüße Christian

Hallo,

die elementaren Zeilenumformungen erhalten zwar die Lösung eines Gleichungssystems, dazu musst du aber das ganze Gleichungssystem (mit Vektor $b$) umformen. 
Stell dir die Matrix einmal als Abbildung vor. Elementare Zeilenumformungen erhalten nicht die Abbildung. Bedeutet, wenn wir die Matrix $ A $ umformen in Zeilenstufenform (nennen wir diese $ A_z $) dann haben wir eine neue Abbildung, also gilt im allgemeinen dann nicht mehr

$$ A_z x = b $$

Gucken wir uns das mal an einem trivialen Beispiel an.
Nehmen wir die Matrix

$$ A=  \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

und nehmen wir mal an

$$ x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

sei unser Lösungsvektor. Dann gilt

$$ Mx = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Nun bringen wir die Matrix einmal in Zeilenstufenform

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2  \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Nun erhalten elementare Zeilenumformungen die Informationen des LGS, jedoch haben wir nur die Matrix anstatt des gemsamten LGS verändert, also erhalten wir mit dem selben Lösungsvektor (dieser darf ja nicht plötzlich ein anderer sein):

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Wir haben plötzlich einen neuen $ b $ Vektor. Wie können wir das in Einklang damit bringen, dass das LGS doch die Informationen erhalten soll?
Um auf die Zeilenstufenform zu kommen, habe ich die zweite Zeile minus der ersten gerechnet. Machen wir das doch auch mal mit unserem ersten $ b $ Vektor.

$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Wir erhalten also den Vektor $ b $ aus der Multiplikation mit der Matrix in Zeilenstufenform und unserem Lösungsvektor.

Also um es nochmal zusammenzufassen: Wenn wir das LGS verändern, müssen wir alles!! auf die gleich Art verändern, eben auch den Vektor $ b $. Ansonsten verändern wir das Gleichungssystem.

Ich hoffe es ist jetzt verständlicher.

Grüße Christian

─ christian_strack 29.10.2019 um 12:57

Kommentar schreiben

christian_strack · Accepted Answer · 2019-10-28T18:45:12Z

0

Hallo,

hast du den Latex Code kopiert? Wenn die Schriftart nicht passend ist kommt es glaube ich zu Formatierungsproblemen.

Ansonsten versuche es vielleicht lieber mit dem Befehl (die " sollen verhindern das der Code umgewandelt wird)

\left \"begin{matrix} ... \end{matrix} \right. \left| \"begin{matrix} ... \end{matrix} \right)

um die erweitere Koeffizientenmatrix zu erzeugen, bzw

\"begin{pmatrix} ... \end{pmatrix}

um sofort eine normale Matrix inklusive Klammern zu erzeugen.

Ich bin jetzt leider kein Experte mit Mathjax, aber vielleicht hilft dir das in Zukunft.

Nun zur Aufgabe: die Idee ist nicht verkehrt, allerdings musst du die erweitere Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform bringen, also

$$ \left( \begin{matrix} 3 & 2 & 4 \\ 2 & 5 & -1 \\ 5 & 7 & 3 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{matrix} \right) $$

Diese bringst du wie bereits gesagt in Zeilenstufenform und erhälst dadurch Bedingungen für deinen Lösungsvektor.

Zur b) die Lösung lässt sich nun einfach ablesen, denn das LGS ist schon allgemein gelöst.

Grüße Christian

Teilen Diese Antwort melden Link

geantwortet 28.10.2019 um 18:45

christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

Danke, das Problem war tatsächlich die Font-Family.
Der Code hat in jeden anderen meiner Posts stets funktioniert! ─ patricksteiner 29.10.2019 um 07:33

Ah wunderbar :)
Zu der Aufgabe ist alles klar geworden?
Dann schließe sie bitte indem du links auf das Häckchen klickst.

Grüße Christian ─ christian_strack 29.10.2019 um 13:01

(Kann leider meinen vorherigen Kommentar nicht löschen)
Achso, ich soll nicht A, sondern (A|b) in Zeilenstufenform bringen^^ ─ patricksteiner 29.10.2019 um 16:57

Korrektur zu Lösung a)

Erweiterte Koeffizientematrix (A|b):

$ \left( \begin{array}{ccc|c}
3 & 2 & 4 & b_1 \\
2 & 5 & -1 & b_2 \\
5 & 7 & 3 & b_3 \\
\end{array} \right) $

$3II - 2I$ und
$3III - 5I$ :

$ \left( \begin{array}{ccc|c}
3 & 2 & 4 & b_1 \\
0 & 11 & -11 & 3b_2 - 2b_1 \\
0 & 11 & -11 & 3b_3 - 5b_1 \\
\end{array} \right) $

$III - II$ :

Erweiterte Koeffizientematrix (A|b) in Stufenform:

$ \left( \begin{array}{ccc|c}
3 & 2 & 4 & b_1 \\
0 & 11 & -11 & 3b_2 - 2b_1 \\
0 & 0 & 0 & 3b_3 - 3b_2 - 3b_1 \\
\end{array} \right) $

Wenn $ 3b_3 - 3b_2 - 3b_1 = 0 $, dann unendlich viele Lösungen.

Lösung b)
Voraussetzung: $3b_3 - 3b_2 - 3b_1 = 0$.

I: $3x_1 + 2x_2 + 4x_3 = b_1$
II: $11x_2 - 11x_3 = 3b_2 - 2b_1$
III: $3b_3 - 3b_2 - 3b_1 = 0$

Wie sollte man hier weiter umformen,
sodass Formeln für $x_1 = \ldots, x_2 = \ldots, x_3 = \ldots$
in Abhängigkeit von $b_1, b_2, b_3$ gefunden werden? ─ patricksteiner 29.10.2019 um 17:38

Die a) stimmt soweit.

zur b)
In der dritten Zeile haben wir eine Nullzeile. Also bedeutet das, wir können einen freien Parameter wählen. Wählen wir $ x_3 = t $.
Dann folgt

$$ 11 x_2 - 11 x_3 = 3b_2 - 2b_1 \\ \Rightarrow 11x_2 - 11t = 3b_2 - 2b_1 \\ \Rightarrow 11x_2 = 11t + 3b_2 -2b_1 \\ \Rightarrow x_2 = t + \frac {3b_2 -2b_1} {11} $$

So kannst du noch $ x_1 $ bestimmen. Dein Lösungsvektor hat dann die Form

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} \ldots \\ t + \frac {3b_2 - 2b_1} {11} \\ t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} \ldots \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \ldots \\ \frac {3b_2 - 2b_1} {11} \\ 0 \end{pmatrix} $$

Die $ \ldots $ musst du noch mit dem Ergebnis für $ x_1 $ ausfüllen.

Grüße Christian ─ christian_strack 30.10.2019 um 11:53

Kommentar schreiben