Dein 4. Punkt ist komplett falsch und macht keinen Sinn. Gewöhn dir bitte möglichst früh eine saubere Notation an. Das hilft nicht nur dir den Überblick zu behalten und deine Gedanken zu ordnen als auch den Korrektoren in einer Klausur evtl. hier und da einen Punkt mehr zu geben. Ich denke, ich weiß, was du schreiben wolltest, aber in einer Klausur dürfte ich dir dafür keine Punkte geben.

Bei solchen Aufgaben funktioniert in den meisten Fällen das gleiche Schema. Da ich gerade etwas schreibfaul bin, ab Punkt 4:

\(\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)^2=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^2+(2(n+1)-1)^2=\frac{1}{3}n(2n-1)(2n+1)+(2(n+1)-1)^2 \)

Von da an schaffst du es auch alleine. Ziel kennst du ja.

D.h. stark vereinfacht ausgedrückt:

Summe mit n+1 hinschreiben. Rest bleibt gleich.

(n+1).Term aus der Summe ziehen. (1. Gleichheitszeichen)

Induktionsvoraussetzung einsetzen. (2. Gleichheitszeichen)

Auf Ziel hinarbeiten. Dabei kannst du wenn du stecken bleibst von deinem Ziel versuchen dich rückwärts anzunähern. Hilft manchmal Wunder.

Bei diesen Typen von Aufgaben kannst man eigtl. fast immer so vorgehen. Falls es mal eine Ungleichung sein sollte, kann man auch so anfangen, muss dann an einem Punkt dann evtl. noch zusätzlich Abschätzungen machen.

Aber Aufgaben dieser Typen funktionieren fast alle gleich.