Die Umformung ist inkorrekt.

Nutze die Potenzregel. Dann schreibst du (n+1) als n(1+1/n) um und nutzt den Hinweis.

Dann die IV und du kommst zur Behauptung

Dein Ansatz ist wie schon oben erwähnt falsch und zeigt, dass du nicht viel verstanden hast und lediglich Kochrezepte ohne sie zu verstanden haben probierst, nur um irgendwas zu haben. Du hast hier nirgends eine Summe stehen, also kannst du auch nicht das (n+1)-Glied aus der Summe rausziehen.

\( \left(\frac{n+1}{3}\right)^{n+1} = \frac{n^{n+1}(1+\frac{1}{n})^{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{n^{n+1}(1+\frac{1}{n})^{n}(1+\frac{1}{n})}{3^{n+1}}\leq \frac{n^{n}n\cdot3\cdot(1+\frac{1}{n})}{3^{n+1}}\)

\(    =\frac{n^{n}n\cdot(1+\frac{1}{n})}{3^{n}}=n\cdot(1+\frac{1}{n})\frac{n^n}{3}\leq n\cdot (1+\frac{1}{n})\frac{1}{3}n!=\frac{1}{3}(n+1)n!=\frac{1}{3}(n+1)!\)