Hallo,

meinst du die Gleichungen:

$$ \sqrt[m]{x^n} = x^{\frac n m} \\ \sqrt[m]{x^n} = \vert x \vert^{\frac n m } $$

Fangen wir mit der ersten an

$$ \sqrt[m]{x^n} = x^{\frac n m} $$

Wir unterscheiden zwei Fälle. 

Der erste Fall ist für nichtnegatve \( x \), also \( x \geq 0 \):

Dieser Fall gilt für beliebige \( n \in \mathbb{Z} ,\ m \in \mathbb{N} \). 

Der zweite Fall ist für negative \(x \), also \( x < 0 \):

Hier müssen wir aufpassen, da wir von negativen Zahlen nicht jede Wurzel ziehen können. 

$$ \sqrt{-2} $$

können wir beispielsweise nicht berechnen, aber

$$ \sqrt[3]{-8} = -2 $$

können wir bestimmen.

Deshalb gilt dieser Fall, wenn \( n \in \mathbb{Z} \) beliebig und \( m \in \mathbb{N} \) ungerade ist. Dadurch ziehen wir eine ungerade Wurzel und können negativen Zahlen einen Wert zuordnen.

Zur zweiten Gleichung. Durch den Betrag verbinden sich beide Fälle zum ersten Fall, da

$$ \vert -x \vert = \vert x \vert \geq 0 $$

gilt. 

Grüße Christian