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Hallo,
zur A) nutze zur Bestimmung des Integrals von \( \sin^2(x) \) die Additionstheoreme.
$$ \sin^2(x) = \frac 1 2 (1- \cos(2x)) $$
Damit ergibt sich das Integral zu
$$ \int_0^{\frac {\pi} 2} \sin^2(x) \mathrm{d}x = \left. - \frac {\sin(2x)-2x} 4 \right|_0^{\frac {\pi} 2} = \frac {\pi} 4 $$
Guck mal ob du die Induktion nun hinbekommst, ansonsten melde dich nochmal :)
B)
Du führst die Induktion über \( m \), also muss der Induktionsschritt
$$ a_{2(m+1)} = a_{2m+2} = \frac {\pi} 2 \prod_{j=1}^{m+1} \frac {2j-1} {2j} $$
sein.
C)
Sieht soweit richtig aus.
Zum Grenzwert. Sollt ihr nur zeigen das der Grenzwert \( 1 \) ist, oder sollt ihr auch zeigen, das überhaupt ein Grenzwert existiert?
Wenn ihr nur zeigen sollt, das der Grenzwert \( 1 \) ist und die Konvergenz nicht gezeigt werden muss, kannst du folgende Idee nutzen
Da \( a_n \) konvergiert, gilt ab einem bestimmten \( n \)
$$ a_n = a_{n+1} $$
Wenn wir also \( n \) unendlich groß werden lassen, gilt dadurch automatisch
$$ \frac {a_{n-1}} {a_{n-2}} \to 1 $$
D)
Denke daran, das du in B) einen Zusammenhang zwischen \( a_{2m} \) und \( a_m \) hergestellt hast. Nutze diesen Zusammenhang um den Grenzwert zu bestimmen.
Versuch dich nochmal etwas. Wenn es nicht klappt, melde dich gerne wieder.
Noch zu Mathjax.
Die wichtigsten Befehle sind denke ich
der Bruch \frac {a} {b} erzeugt
$$ \frac a b $$
die Wurzel \sqrt[n]{m}
$$ \sqrt[n]{m} $$
die Summe \sum_{k=0}^{n}
$$ \sum_{k=0}^n $$
das Produkt \prod_{k=0}^{n}
$$ \prod_{k=0}^{n} $$
die Potenz x^{n}
$$ x^n $$
und das Tiefstellen a_{n}
$$ a_n $$
Die geschweiften Klammern kennzeichnen dem Befehl, worauf er sich beziehen soll. Wenn das worauf es sich bezieht nur aus einem Zeichen besteht, kann man die Klammern auch weglassen, zum Beispiel a_n für
$$ a_n $$
Grüße Christian
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Unter Voraussetzung dass die Folge konvergiert, gilt dies.
zu D) ich habe es nicht durchgerechnet. Kann ich nachher gerne einmal machen. Ich denke aber der Ansatz sollte folgender sein
$$ a_{2m} = \frac {\pi} 2 \prod_{j=1}^m \frac {2j-1} {2j} \\ \Rightarrow a_{2m} \prod_{j=1}^m \frac {2j} {2j-1} = \frac {\pi} 2 $$
Noch zu Mathjax, das hatte ich vergessen zu erwähnen. Damit der Befehl dargestellt wird, setzt du ihn entweder zwischen \"( \) (ohne ") oder $"$ $$ (wieder ohne "). Das erste bietet sich im Fließtext an, das andere zentriert die Formel.
Grüße Christian ─ christian_strack 05.11.2019 um 12:30
danke für die Antwort!
zu a)
Ich bin von der Induktion abgekommen, das war mir zu viel Umgeforme mit dem Integral :D
Ich habe es jetzt mit der partiellen Integration von sin(x)* sin(x)^n-1 geschafft.
bei C)
Alles klar, dann mache ich das so! In der Aufgabenstellung steht nur, dass wir zeigen sollen, dass der Grenzwert 1 ist.
Aber wenn wir direkt sagen können, dass a(n-1) / a(n-2) gegen 1 geht - wieso konnten wir das nicht direkt für a(n+1) / an sagen?
zu D)
Ich habe probiert, das Produkt von den beiden Produkten in b zu nehmen.
Denn diese decken ja zum Einen die geraden natürlich und zum Anderen die ungeraden ab; also im Endeffekt alle..
Allerdings komme ich dann darauf, dass das Produkt von diesen beiden wiederum \frac {pi} {2} erzeugt* \prod_{j=0}^{m} \frac {(4j² -2j)} {(4j²+2j)} und ich sehe nicht wie das zum gewollten Ausdruck werden soll.. :/ ─ anonym59494 04.11.2019 um 17:56