Hallo,

was genau verstehst du denn nicht?

Wir nehmen einen beliebigen Ringhomomorphismus \( \varphi(x) \). 

Homomorphismen haben folgende Eigenschaften

$$ \varphi(x\cdot y) = \varphi(x) \cdot \varphi(y) $$

Nun wird zuerst gezeigt, das der Nullhomomorphismus nicht injektiv ist. Das ist eigentlich sehr einleuchtend, da der Nullhomomorphismus alle Werte auf die Null abbildet und somit direkt die Injektivität verletzt. 

In dem Beweis wird dies folgendermaßen gezeigt.

Wenn nun \( \varphi(1) = 0 \) gilt, gilt auch

$$ \varphi(x \cdot 1) = \varphi(x) \cdot \varphi(1) = 0 $$

Da wir jede Zahl als \( x = x \cdot 1 \) darstellen können, gilt also für jeden Homomoprhismus ungleich dem Nullhomomorphismus 

$$ \varphi(1) \neq 0 $$

Also setzen wir da an, denn wir schließen durch die Einschränkung nur den Nullhomomorphismus aus. 

Um nun zu zeigen, dass die Injektivität für alle anderen Ringhomomorphismen gilt, zeigen wir das alle anderen Ringhomorphismen das neutrale Element von \( K \) auf das neutrale Element von \( L \)  abbilden (unitärer Ringhomomorphismus).
Für diese habt ihr wohl in der Vorlesung schon gezeigt, dass diese injektiv sind. 

Nun wollen wir also zeigen, dass 

$$ \varphi(1) = 1 $$

gilt.

$$ \varphi(1) = \varphi(1 \cdot 1) = \varphi(1) \cdot \varphi(1) $$

Nun nutzen wir, dass jedes Element ein Inverses bestitzt, für das gilt

$$ 1 = (\varphi(1))^{-1} \cdot \varphi(1) $$

Wir setzen den obigen Zusammenhang dort ein und erhalten

$$ 1 = (\varphi(1))^{-1} \cdot ( \varphi(1) \cdot \varphi(1) ) $$

Nun gilt für Ringe das Assoziativgesetz und wir können umklammern

$$ 1 = ( (\varphi(1))^{-1} \cdot \varphi(1)) \cdot \varphi(1) = 1 \cdot \varphi(1) = \varphi(1) $$

Und daraus folgt nun die Injektivität.

Grüße Christian