Hallo,

der Umfang besteht doch aus \(4\) geraden Stücken und einem gebogenen Stück, richtig?

Die \(4\) geraden Stücke haben alle die Länge \(r=6\text{cm}\), denn das eine ist ein Quadrat, da sind alle Kanten gleich lang und das andere ist der Radius vom Kreis und beides ist gleich lang.

Das gebogene Stück ist etwas schwieriger zu berechnen, denn es ist Teil eines Kreises. Für den Umfang \(U_K\) eines Kreises gilt: \(U_K=2\cdot\pi\cdot r\). Jetzt hast du aber nur ein Drittel vom Umfang, denn du schaust dir nur den Winkel \(\alpha=120^\circ\) an, der ein Drittel des gesamten Winkels \(360^\circ\) darstellt. 

Der Umfang deiner Fläche ist somit:

$$4r+\frac{1}{3}\cdot2\cdot\pi\cdot r=\Bigl(4+\frac{2\pi}{3}\Bigr)\cdot r\approx 36,57\text{cm}.$$

Der Flächeninhalt besteht aus einem Quadrat und einem Drittelkreis. Das Quadrat hat den Flächeninhalt \(r\cdot r=r^2\), das dürfte klar sein. Der Flächeninhalt eines Kreises ist: \(A_K=\pi\cdot r^2\). Jetzt hast du aber nur ein Drittel der Fläche, weil du schaust dir nur den Winkel \(\alpha=120^\circ\) an, der ein Drittel des gesamten Winkels \(360^\circ\) darstellt. 

Der Flächeninhalt ist somit:

$$r^2+\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2=\Bigl(1+\frac{\pi}{3}\Bigr)\cdot r^2\approx 73.7\text{cm}^2.$$

Wenn dir immer noch etwas unklar ist, dann sag bitte, welchen konkreten Schritt du nicht verstanden hast! :)