Hallo,

du löst es ganz normal mit Gauß und du kannst eine Variable fest lassen, zum Beispiel \(x_4\) und dann löst du \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) in Abhängigkeit von \(x_4\) und bekommst als Lösung eine Gerade und keinen Punkt! :)

Machen wir das doch mal. Unsere Gleichungen sind:

$$x_1+2x_2+3x_3=5$$

$$2x_1+x_2+x_3+x_4=3$$

$$3x_2+7x_3+x_4=3$$

Jetzt können wir in einer der beiden oberen Gleichungen \(x_1\) eliminieren. Zum Beispiel, indem wir \(2\) mal die erste Gleichung nehmen und davon die zweite Gleichung abziehen. Es folgt:

$$3x_2+5x_3-x_4=7.$$

Dazu haben wir noch die dritte Gleichung. Praktischerweiße können wir die direkt wieder abziehen und bekommen:

$$-2x_3-2x_4=4.$$

Jetzt können wir \(x_3\) in Abängigkeit von \(x_4\) bestimmen und bekommen:

$$x_3=-x_4-2$$

Das können wir in die Gleichung 

$$3x_2+5x_3-x_4=7$$

einsetzen und es folgt:

$$3x_2=7+x_4-5\cdot(-x_4-2)=7+x_4+5x_4+10=6x_4+17$$

Folglich gilt:

$$x_2=2x_4+\frac{17}{3}$$

Das \(x_2\) und das \(x_3\) kann man dann in die erste Gleichung einsetzen, um \(x_1\) zu bestimmen. Für \(x_4\) gilt ja einfach \(x_4=x_4+0\). 

Somit haben wir für passende \(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\) die Variablen in die Form:

$$x_1=a_1+a_2\cdot x_4,\quad x_2=b_1+b_2\cdot x_4,\quad x_3=c_1+c_2\cdot x_4$$ 

gebracht. 

Die Lösung ist dann diese Grade hier:

$$(a_1,b_1,c_1,0)^T + (a_2,b_2,c_2,1)^T\cdot x_4.$$

Wir haben bestimmte Einträge ja schon bestimmt. Beispielsweise gilt \(c_1=-2\) und \(c_2=-1\), da ja gilt \(x_3=-x_4-2\). Und genauso bestimmst du die noch fehlenden Zahlen.

Ist es dir so klarer geworden? :)