Komposition von zwei Abbildungen = 0 -> Mögliche Schlußfolgerungen?

Aufrufe: 1514     Aktiv: 08.11.2019 um 04:39
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Hallo zusammen,

ich habe die folgende Aufgabenstellung:

Ich habe mir zu der Sache mit dem Rang und der Dimension bisher die folgenden Notizen gemacht:

Doch irgendwie ist der Schlüssel zur Lösung ja wohl die Komposition von f ° g = 0.

Was ich damit anfangen kann für die Lösung der Aufgabe - darauf komme ich nicht.
Wäre über einen Tipp/Gedankenanstoss dankbar.

Viele Grüße, 
-Adrian

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Hallo,

hinter 

$$ f \circ g = 0 $$

verbirgt sich folgendes: 

Alle Elemente die von \( g \) tatsächlich angenommen werden, befinden sich im Bild von \( g \) (\(im(g) \)).

Dies sind die Elemente die wir nun in \( f \) einsetzen. Nun werden aber alle diese Elemente auf die Null abgebilet. Das bedeutet, das alle Elemente vom Bild von \(g \) auch im Kern von \( f \) sein müssen. 
Nun müssen das aber nicht alle Elemente des Kerns sein, also gilt

$$ im(g) \subseteq ker(f) $$

Ist dir klar warum das gilt? 

Nun bedeutet das aber auch, dass

$$ dim\ im(g) \leq dim\ ker(f) $$

Nun nutze deine Dimensionsformel.

Grüße Christian

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Die Sache mit "Nun müssen das aber nicht alle Elemente des Kerns sein, also gilt..." ist mir nicht ganz klar.

Was bedeutet z.B. "Alle Elemente die von g tatsächlich angenommen werden". Hat das damit zu tun?
Was nimmt denn g nicht an?
   ─   adrian142 07.11.2019 um 11:25
Durch eine lineare Abbildung wird der Nullvektor immer wieder auf den Nullvektor abgebildet.
Nun nehmen wir uns die Abbildung \( g \). Wenn wir dort Elemente einsetzen, erhalten wir entweder den Nullvektor oder ein Element ungleich dem Nullvektor.
Alle Elemente ungleich dem Nullvektor befinden sich im Bild und das sind die Elemente die ich meine mit "werden tatsächlich angenommen". Es wird eben nicht immer der ganze Raum \( V \) angenommen (siehe zum Beispiel eine Projektion auf eine der Achsen).
Da wir eine Komposition von Abbildungen haben, setzen wir in die zweite Abbildung nur Elemente ein, die von der ersten Abbildung angenommen werden, also entweder das Bild von \( g \) oder der Nullvektor.
Jetzt werden aber alle diese Elemente durch \( f \) auf den Nullvektor abgebildet , da \( f \circ g = 0 \) gilt.
Alle Elemente die durch eine Abbildung auf den Nullvektor abgebildet werden befinden sich im Kern der Abbildung.
Mathematisch bedeutet das sofort
$$ im(g) \subseteq ker(f) $$
Ich habe nochmal extra fürs Verständnis dazugeschrieben, dass dies nicht alle sein müssen, da auch Elemente durch \( f \) auf den Nullvektor abgebildet werden könnten, die sich nicht im Bild von \( g \) befinden. Diese werden dann aber nicht in \( f \) eingesetzt, da sie durch \( g \) zuerst auf den Nullvektor abgebildet werden und somit dann durch \( f \) wieder auf den Nullvektor.
Ich hoffe es ist jetzt verständlicher.

Grüße Christian   ─   christian_strack 07.11.2019 um 12:03
Hi, so einfach kann es sein. Ich denke das erste g muss f sein. f kriegt ja die Bildmenge von g "zu futtern". fog=f(g).
''Alle Elemente die von f tatsächlich angenommen werden, befinden sich im Bild von g''
   ─   stehgold 07.11.2019 um 12:04
Nein alle Elemente die von \( g\) tatsächlich angenommen werden befinden sich im Bild von \( g \) und alle Elemente die von \(f \) tatsächlich angenommen werden befinden sich im Bild von \( f \). Damit meine ich, wie oben nochmal beschrieben, die Elemente auf die die Abbildung abbildet.   ─   christian_strack 07.11.2019 um 12:08
Vielleicht noch ein einfacheres Beispiel.
Nehmen wir die Funktion
$$ \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ f(x) = x^2 $$
Im Bild dieser Funktion sind alle positiven reellen Zahlen, aber nicht die negativen reellen Zahlen. Das Bild dieser Funktion ist also
$$ im(f) = \mathbb{R}_{>0} $$
Es werden also nur die positiven Zahlen tatsächlich angenommen, obwohl die Zielmenge die ganzen reellen Zahlen sind.   ─   christian_strack 07.11.2019 um 12:11
Dann verstehe ich es nicht oder wir meinen mit "von einer Abbildung angenommen werden" verschiedene Dinge. Ich meine damit die Menge der Urbilder. Das sind die, die von einer Abbildung angenommen und auf ein Bild abgebildet werden.   ─   stehgold 07.11.2019 um 12:12
Von einer Funktion werden diese Werte angenommen, auf die diese Funktion abbildet, also das Bild der Funktion.   ─   christian_strack 07.11.2019 um 12:14
Aha, da haben wir es wieder. Die werden für mich ausgegeben und nicht angenommen. Vermutlich ist Bildmenge nicht gleich Menge der Bilder. Da liegt die Krux mit der Mathematik. Die Rechnerei und Konzepte sind ja durchschaubar, aber die Sprache werde ich nie verstehen.   ─   stehgold 07.11.2019 um 12:16
Hab Bildmenge nochmal zu Zielmenge umgeändert (im Kommentar mit \( x^2 \)). Da hatte ich mich vertippt.
Solche Ausdrücke wie "angenommen werden" sind vielleicht auch nicht 100% einheitlich.
Ersetze am besten überall "tatsächlich angenommen" durch " tatsächlich drauf abgebildet". Dann ist es vielleicht eindeutiger.   ─   christian_strack 07.11.2019 um 12:19
Aber da wir dieses Missverständnis klären konnten, denke ich das du die Idee dahinter verstanden hast. Mit deiner Interpretation des Wortes stimmt dein Kommentar :)   ─   christian_strack 07.11.2019 um 12:21
>>>Da liegt die Krux mit der Mathematik. Die Rechnerei und Konzepte sind ja durchschaubar, aber die Sprache werde ich nie verstehen.<<<
Da kann ich mich voll anschließen! ;)   ─   adrian142 08.11.2019 um 04:39

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