Hallo,

für \(n=1\) gilt \(i^1=i\notin\mathbb{R}\).

für \(n=2\) gilt \(i^2=-1\in\mathbb{R}\).

für \(n=3\) gilt \(i^3=-i\notin\mathbb{R}\).

für \(n=4\) gilt \(i^4=1\in\mathbb{R}\).

für \(n=5\) gilt \(i^5=i^4\cdot i^1=i\notin\mathbb{R}\).

Es gilt wegen \(i^4=1\) sogar für alle \(n\in\mathbb{Z}\) folgendes:

$$i^{4n}=1\in\mathbb{R},\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1\in\mathbb{R},\quad i^{4n+3}=-i.$$

Somit ist deine Menge gegeben durch:

$$\{4n:n\in\mathbb{Z}\}\cup\{4n+2:n\in\mathbb{Z}\}=\{2x:x\in\mathbb{Z}\}.$$

Alles klar? :)