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Hallo,
nutze dafür die Normalengleichung einer Ebene
$$ E: \left[\vec{x} - \vec{a} \right] \cdot \vec{p} = 0 $$
Ist dir klar wie diese Gleichung funktioniert?
Wenn du die Gleichung aufgestellt hast, setze den Punkt \(b \) ein und prüfe ob er die Ebenengleichung erfüllt.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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leider nicht. habe ich zuvor nie gemacht . Erklärst du es mir bitte ? :)
─
[email protected]
12.11.2019 um 22:28
Selbstverständlich :)
Ich sehe gerade, das dein Normalenvektor der Vektor \( \vec{p} \) ist. Deshalb ändere ich nochmal etwas meine Bezeichnung von oben.
Der Vektor \( \vec{a} \) zeigt auf einen beliebigen Punkt auf der Ebene. Der Vektor \( \vec{p} \) ist der Normalenvektor der Ebene. Diese beiden Vektoren haben feste Werte.
Der Vektor \( \vec{x} \) ist "Stellvertreter" für alle Punkte der Ebene.
In deinem Fall würdest du folgende Gleichung erhalten
$$\left[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} = 0 $$
Die Idee hinter dieser Gleichung ist folgende. Wenn wir nun einen Punkt für \( \vec{x} \) einsetzen, erzeugen wir durch die Subtraktion einen Vektor zwischen dem Punkt \( x \) und dem Punkt \( a \).
Wenn nun \( x \) in der Ebene liegt, dann erzeugt die Subtratktion ebenfalls einen Vektor der in der Ebene liegt. Da dieser somit senkrecht zum Normalenvektor \( \vec{p} \) steht muss das Skalarprodukt Null ergeben.
Wenn der Punkt \( x \) nicht in der Ebene liegt, dann erzeugt die Subtraktion einen Vektor der nicht in der Ebene liegt. Dieser Vektor ist dann nicht mehr senkrecht zum Normalenvektor und deshalb kann das Skalarprodukt nicht Null ergeben.
Also zusammengefasst. Wenn wir einen Punkt für \( \vec{x} \) einsetzen und dieser in der Ebene liegt, erhalten wir als Ergebnis Null. Liegt der Punkt nicht in der Ebene, so erhalten wir ein Ergebnis ungleich Null.
Da ihr diese Gleichung aber noch nicht hattet, will ich nochmal auf eine weitere herangehensweise erklären.
Habt ihr schon mit der Koordinatenform einer Ebene gearbeitet?
$$ E: ax + by + cz = d $$
Diese Gleichung entsteht wenn wir die Normalenform ganz allgemein ausmultiplizieren.
$$ \left[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} \\ = p_1 x + p_2 y + p_3 z - (p_1a_1 + p_2a_2 + p_3a_3) = 0 $$
Wenn wir nun
$$ (p_1a_1 + p_2a_2 + p_3a_3) = d $$
setzen, erhalten wir
$$ p_1 x + p_2 y + p_3 z = d $$
die Koordinatenform. Die Herleitung dieser Gleichung zeige ich dir aus folgendem Grund. Die Vorfaktoren von \( x, y \) und \( z \) sind die Einträge des Normalenvektor. Du kannst dir also auch aus deinen Angaben fix eine Koordinatengleichung basteln.
$$ x + 2y - 3z = d $$
Nun setzen wir dort den gegebenen Punkt ein und erhalten
$$ 2 + 2\cdot (-1) - 3 \cdot 3 = 2 - 2 - 9 = -9 $$
Damit erhalten wir die Koordinatengleichung
$$ x + 2y - 3z = -9 $$
Grüße Christian ─ christian_strack 13.11.2019 um 10:49
Ich sehe gerade, das dein Normalenvektor der Vektor \( \vec{p} \) ist. Deshalb ändere ich nochmal etwas meine Bezeichnung von oben.
Der Vektor \( \vec{a} \) zeigt auf einen beliebigen Punkt auf der Ebene. Der Vektor \( \vec{p} \) ist der Normalenvektor der Ebene. Diese beiden Vektoren haben feste Werte.
Der Vektor \( \vec{x} \) ist "Stellvertreter" für alle Punkte der Ebene.
In deinem Fall würdest du folgende Gleichung erhalten
$$\left[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} = 0 $$
Die Idee hinter dieser Gleichung ist folgende. Wenn wir nun einen Punkt für \( \vec{x} \) einsetzen, erzeugen wir durch die Subtraktion einen Vektor zwischen dem Punkt \( x \) und dem Punkt \( a \).
Wenn nun \( x \) in der Ebene liegt, dann erzeugt die Subtratktion ebenfalls einen Vektor der in der Ebene liegt. Da dieser somit senkrecht zum Normalenvektor \( \vec{p} \) steht muss das Skalarprodukt Null ergeben.
Wenn der Punkt \( x \) nicht in der Ebene liegt, dann erzeugt die Subtraktion einen Vektor der nicht in der Ebene liegt. Dieser Vektor ist dann nicht mehr senkrecht zum Normalenvektor und deshalb kann das Skalarprodukt nicht Null ergeben.
Also zusammengefasst. Wenn wir einen Punkt für \( \vec{x} \) einsetzen und dieser in der Ebene liegt, erhalten wir als Ergebnis Null. Liegt der Punkt nicht in der Ebene, so erhalten wir ein Ergebnis ungleich Null.
Da ihr diese Gleichung aber noch nicht hattet, will ich nochmal auf eine weitere herangehensweise erklären.
Habt ihr schon mit der Koordinatenform einer Ebene gearbeitet?
$$ E: ax + by + cz = d $$
Diese Gleichung entsteht wenn wir die Normalenform ganz allgemein ausmultiplizieren.
$$ \left[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} \\ = p_1 x + p_2 y + p_3 z - (p_1a_1 + p_2a_2 + p_3a_3) = 0 $$
Wenn wir nun
$$ (p_1a_1 + p_2a_2 + p_3a_3) = d $$
setzen, erhalten wir
$$ p_1 x + p_2 y + p_3 z = d $$
die Koordinatenform. Die Herleitung dieser Gleichung zeige ich dir aus folgendem Grund. Die Vorfaktoren von \( x, y \) und \( z \) sind die Einträge des Normalenvektor. Du kannst dir also auch aus deinen Angaben fix eine Koordinatengleichung basteln.
$$ x + 2y - 3z = d $$
Nun setzen wir dort den gegebenen Punkt ein und erhalten
$$ 2 + 2\cdot (-1) - 3 \cdot 3 = 2 - 2 - 9 = -9 $$
Damit erhalten wir die Koordinatengleichung
$$ x + 2y - 3z = -9 $$
Grüße Christian ─ christian_strack 13.11.2019 um 10:49