Hallo,

wir wollen die Funktion 

$$ y = - \frac 1 2 x^2 -2x +1 $$

in Scheitelpunktform bringen. Die allgmeine Form der Scheitelpunktform lautet

$$ y= a(x-d)^2 +e $$

Um den Faktor \( (x-d)^2 \) zu erzeugen, müssen wir die quadratische Ergänzung durchführen. Klammern wir den Ausdruck einmal mit der zweiten binomischen Formel aus um zu sehen was wir brauchen

$$ (x-d)^2 = x^2 - 2xd + d^2 $$

Das vergleichen wir nun mit deiner Funktion. Wir haben vor dem \( x^2 \) einen Vorfaktor. Diesen müssen wir zuerst ausklammern.

$$ -\frac 1 2 x^2 - 2x + 1 = -\frac 12 (x^2 + 4x - 2) $$

Nun vergleichen wir den Ausdruck \( (x^2 + 4x -2 ) \) mit \( (x^2 -2xd + d^2) \).

Das \( x^2 \) ist schon mal gleich. Also vergleichen wir die zweiten Summanden

$$ 4x = -2xd \\ 4 = -2d \\ -2 = d $$

Damit der zweite Summand übereinstimmt, muss \( d=-2 \) gelten. Setzen wir dies mal in die zweite binomische Formel ein.

$$ (x-d)^2 = (x-(-2))^2 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 $$

Nun passen die ersten beiden Summanden. Nur noch der Dritte muss angepasst werden. Dafür addieren wir eine Null.

$$ x^2 + 4x -2 + 0 = x^2 + 4x -2 + (4-4) = x^2 + 4x + 4 - 6$$

Nun können wir auf die ersten 3 Summanden die binomische Formel anwenden und erhalten

$$ x^2 + 4x + 4 - 6 = (x-(-2))^2 - 6 $$

Nun holen wir uns den ausgeklammerten Vorfaktor zurück

$$ y= - \frac 1 2 (x^2 + 4x - 2) = -\frac 1 2 ((x-(-2))^2 - 6) = -\frac 1 2 (x-(-2))^2 + 3 $$

Und damit haben wir unsere Funktion in Scheitelpunktform gebracht.

Dadurch können wir sofort den Scheitelpunkt ablesen. Dieser lautet:

$$ S(-2|3) $$

Wenn noch etwas unklar ist melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian