Hallo,

dass das direkte Produkt von zwei Gruppen wieder eine Gruppe erzeugt, zeigst du indem du die Gruppenaxiome beweist. 

1. Assoziativität
2. Existenz des neutralen Elements
3. Existenz des Inversen Elements

In welche Gruppe bildet der Gruppenhomomorphismus ab? Ich vermute mal es ist in \( G_1 \). 

Für eine  Gruppenhomomorphismus gilt

$$ \theta : (G_1,\cdot) \to (G_2,\circ) \\ \theta (g_1 \cdot g_2) = \theta(g_1) \circ \theta(g_2) $$

Ein Gruppenhomomorphismus erhält das Ergebnis, egal ob wir zuerst zwei Elemente verknüpfen und dann durch die Abbildung schicken oder ob wir diese zuerst einsetzen und dann verknüpfen.

Bei deiner Aufgabe, musst du wenn du bevor du in die Abbildung einsetzt zwei Elemente verknüpfst das direkte Produkt nutzen. Nach der Abbildung hast du vermutlich die Verknüpfung der Gruppe mit der Menge \( G_1 \), da du ein Element aus \( G_1 \) hast. 

Für die Lösung dieser Aufgabe, mach dir klar was das direkte Produkt genau macht.

Was ist die Aufgabe zu höchstens einen Gruppenhomomorphismus?

Grüße Christian