Hi Dominik, hier ein Erklärungsversuch von mir.

\( \frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}\cos\left(kt\right)+b_{k}\sin\left(kt\right)\right) \)

Eigentlich wäre es cool, wenn der Koeffizient a0/2 in der Summe stecken würde und man einfach von 0 summieren könnte. Wenn man sich aber k=0 anschaut, sieht man, dass a0 "nur halb" in der Summe vorkommt.

Vielleicht kennst du die Darstellung mit der Exponentialform:

\( \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{ikx}=\sum_{k=1}^{\infty}c_{-k}e^{-ikx}+c_0+\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}e^{ikx}\)

wobei \( c_{k}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-ikx}\mathrm dt \)

Um diese Form in die bekannte sin-cos-Form umzuwandeln, wendet man folgende Formel für die Koeffizienten an (und die eulersche Formel):

\( a_{k}=c_{k}+c_{-k} \)

hierbei sieht man, dass alle a_k eine summe von zwei c_k sind, außer für k=0, da es hier kein negatives Äquivalent gibt, nur c_0. Daher kommt der Koeffizient a_0 nur "halb gewichtet" in der Summe vor und muss außerhalb der Summe korrigiert werden.

Desweiteren sei angemerkt, dass b_0 gar nicht vorkommt, da es mit sin(0) in der Summe multipliziert wird und daher wegfällt.

\( \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{ikx}=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}\cos\left(kt\right)+b_{k}\sin\left(kt\right)\right) \)

Grüße