Residuensatz anwenden

Aufrufe: 1073     Aktiv: 20.11.2019 um 00:43
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Guten Abend

Ich muss bei dieser Aufgabe den Residuensatz für folgende Funktionen anwenden:

Da bei den Funktionen zum Glück nur einfache Polstellen vorliegen ist das rechnen grundsätzlich recht einfach (sofern ich da keinen Fehler gemacht habe).

Nur beim letzten Integral bin ich mir nicht so sicher wie ich das angehen kann.

Meine Lösungen:

Ich bin dankbar für sämtliche Inputs :-)

LG

Wizz

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Vielen Dank für den Tipp das macht natürlich Sinn. Du hast recht \(\delta K_{1}(0)\) ist genau der Einheitskreis.

Bei der b) habe ich aber gerade erfahren, dass eine Singularität auf dem vorgegebenen Kreis liegt, wo der Residuensatz nicht anwendbar ist. Ich muss das nochmals überprüfen ich glaube da liegt ein Tippfehler vor.   ─   wizzlah 14.11.2019 um 10:21
Das Problem ist, wenn ich \(\frac{sin(z)}{cos(z)}\) für \(\frac{1}{tan(z)}\) einsetze erhalte ich :
\(\lim\limits_{z \to 0} \frac{cos(z)}{sin(z)}\) und erhalte wieder einen Pol und kann folglich das Residuum nicht bestimmen. Es sei denn, es kann Unendlich werden ich muss da nochmals schauen.   ─   wizzlah 14.11.2019 um 22:42
Ich habe nun einen anderen Weg gewählt, der offenbar funktioniert hat.
Sei \(p(z) = 1; q(z) = tan(z)\)
Dann darf ich folgendes anwenden :
\(Res_{z0}f = \frac{p(z_0)}{q'(z_0)}\), wobei \(p(z), q(z)\) holomorph bei der Nähe von \(z_0\) und \(p(z_0) \neq 0\) und \(q\) bei \(z_0\) eine einfache Nullstelle hat (stimmt ja).
Es gilt natürlich auch \(q'(z_0) \neq 0\).
Dann habe ich mit
\(\frac{p(0)}{q'(0)} = cos^2(0) = 1\) erhalten und mit dem Integral folglich als Ergebnis für das Residuum \(2 \pi i\) erhalten.


   ─   wizzlah 14.11.2019 um 22:56
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1 und 2 schaut grundsätzlich richtig aus vom Vorgehen (hab jetzt nicht auf Rechenfehler geachtet, weil es bisschen spät ist) zur 3) Wenn ich die Notation richtig verstehe ist mit \( \partial K_1(0) \) die Kreisschreibe um den Punkt 0 mit Radius 1 gemeint oder? Dann müsstest du eigentlich nur die Nullstelle für \( k=0\) betrachten. Wenn du deinen Tangens als Sinus und Cosinus schreibst und 5.1.6 verwendest, solltest du auf einen recht bekannten Grenzwert stößen
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