Hallo,

entweder du stellst die Ebene mit Hilfe der Normalenform oder Koordinatenform auf.

Normalenform:

$$ \left[ \vec{x} - \vec{p} \right] \cdot \vec{n} = 0 $$

Dabei ist \( \vec{p} \) der Vektor der auf einen Punkt der Ebene zeigt, und \( \vec{n} \) der Normalenvektor der Ebene.

Wenn wir hier für \( \vec{x} \) dann einen Punkt einsetzen, erhalten wir durch die Differenz entweder einen Vektor der in der Ebene liegt (nämlich genau dann, wenn der Punkt in der Ebene liegt) oder einen Vektor der nicht in der Ebene liegt (wenn der Punkt nicht in der Ebene liegt). Da der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht, muss das Skalarprodukt aus Normalenvektor und einem Vektor der in der Ebene liegt gleich Null sein.

Wenn wir die Normalenform ausklammern, erhalten wir die Koordinatenform

$$ \left[ \vec{x} - \vec{p} \right] \cdot \vec{n}  = \vec{x} \cdot \vec{n} - \vec{p} \cdot \vec{n} = 0 $$

Nun ergibt \( \vec{p} \cdot \vec{n} \) eine Zahl die wir \( d \) nennen. Außerdem wenden wir das Skalarprodukt auf \( \vec{x} \cdot \vec{n} \) an und erhalten

$$ n_1x + n_2y+ n_3z = d $$

Die Koordinatenform hat also als Vorfaktoren von \(x,y\) und \( z\) die Koordinaten des Normalenvektors. 

Um dann \( d \) auszurechnen, musst du einen Punkt einsetzen, der in der Ebene liegt.

Grüße Christian