Waagrechte Asymptote zu f(x) = \( \frac {x} {\sqrt[4]{x^4 + 1}} \) ?

Aufrufe: 1009     Aktiv: 17.11.2019 um 00:59
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Hallo!

Aufgabe ist, zur Funktion f(x) = \( \frac {x} {\sqrt[4]{x^4 + 1}} \) die waagrechten Asymptoten zu finden.

Hier hätte ich mir das Verhalten der Funktion angesehen, wenn x gegen +/- unendlich strebt.
Da sowohl Nenner (etwas schneller als Zähler) als auch Zähler gegen unendlich streben, würde als Bruch jeweils (-)unendlich / unendlich dastehen und deswegen würde es auch hier keine Asymptoten geben? Aber wenn ich hohe Werte in die Funktion einsetze, dann streben die Werte jeweils gegen y = +/- 1.... (Was mir auch logisch erscheint, wenn ich mir die Funktion ansehe. Weiß hier jemand Rat bzgl. der Berechnung?

Danke euch vielmals für die Unterstützung!

LG

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Hallo,

du kannst deinen Bruch umschreiben. Für \(x>0\) gilt \(\sqrt[4]{x^4}=x\) und es folgt:

$$\frac{x}{\sqrt[4]{x^4+1}}=\frac{\sqrt[4]{x^4}}{\sqrt[4]{x^4+1}}=\sqrt[4]{\frac{x^4}{x^4+1}}.$$

Jetzt kannst du dir den Bruch anschauen und es gilt offensichtlich:

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^4}{x^4+1}=1$$

und somit kommt \(1\) raus.

Für \(x<0\) gilt: \(\sqrt[4]{x^4}=-x\) und es gilt:

$$\frac{x}{\sqrt[4]{x^4+1}}=\frac{-\sqrt[4]{x^4}}{\sqrt[4]{x^4+1}}=-\sqrt[4]{\frac{x^4}{x^4+1}}.$$

Jetzt kannst du dir wieder den Bruch anschauen und es gilt offensichtlich:

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^4}{x^4+1}=1$$

und somit kommt \(-1\) raus. 

Alles klar? :)

 

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aja, danke dir für die antwort :) jetzt hänge ich nur noch , warum bei lim-Berechnung 1 herauskommt, wenn du den Bruch nach der Umformung nach den Limesgesetzen auflöst... kannst du mir da noch weiterhelfen bitteeeee? dank da!   ─   m09s19 16.11.2019 um 13:22
Wo ich geschrieben habe "es gilt offensichtlich:" meinst du? :)
Du kannst durch \(x^4\) teilen im Bruch und alle Grenzwerte einzeln betrachten, dann kommt \(\frac{1}{1+0}=1\) im Grenzwert raus. Oder meinst du was anderes? :)   ─   endlich verständlich 16.11.2019 um 13:35
ja genau da hänge ich, ist mir leider immer noch nicht ganz klar, warum der limes für \( \frac {x^4}{x^4 + 1} = \frac {1} {1+0} = 1 \) ergibt... oje, irgendwie steh ich auf der Leitung...   ─   m09s19 16.11.2019 um 14:00
Du teilst überall durch \(x^4\). Dann bleiben die \(1\)en stehen und die \(1\) die ursprünglich da stand teilst du durch \(x^4\) und \(\frac{1}{x^4}\) geht für \(x\) gegen \(+\infty\) oder \(-\infty\) ja einfach gegen \(0\).   ─   endlich verständlich 16.11.2019 um 14:05
dankeeeeee dir, jetzt hab ichs :)   ─   m09s19 16.11.2019 um 14:19

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