Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Eine Münze wird viermal geworfen. In wie vielen aller möglichen Ergebnisse tritt genau zwei mal Kopf auf?

Folgender Gedankengang dazu: Das Experiment entspricht \(n = 4\) voneinander unabhängigen Subexperimenten, nämlich den vier einzelnen Münzwürfen. Jeder Münzwurf hat \(k = 2\) mögliche Ergebnisse nämlich Kopf = K und Zahl = Z. Es gibt dem entsprechen \({n^k} = {2^4} = 16\)  mögliche Ergebnisse für das Experiment (ZZZZ, ZZZK, ZZKZ ... KKKK). Die Frage ist nun wie viele der 16 Ergebnisse exakt 2 Köpfe enthalten.

Der Binomialkoeffizient gibt an wie viele Wege es gibt aus n verschiedenen Objekten eine Gruppe von k Objekten zu erstellen, wobei die Reihenfolge der Objekte in der Gruppe egal ist. Es wird zudem angenommen, dass Objekte nicht doppelt in die Gruppe aufgenommen werden können (kein Zurücklegen). In beschriebenen Experiment kann das Objekt Z jedoch mehrmals in die Gruppe aufgenommen werden. Nach jedem ziehen/werfen von K oder Z stehen für den nächsten Zug/Wurf wieder K und Z zur Verfügung (mit Zurücklegen). Nichts desto trotz liefert der Binomialkoeffizient (4 über 2) die richtige Lösung für das Problem, nämlich 6. Liefert der Bionomialkoeffizient für das selbe Experiment mit anderen Werten für n und k ebenfalls das richtige Ergebnis? Wenn ja, wieso? Wenn nein, wie ist die Aufgabe dann zu lösen?