Hallo,

eine ganzrationale Funktion kann entweder in der Form

$$ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n $$

oder in der Form

$$ f(x) = a(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\ldots (x-x_n) $$

angegeben werden.

Das erste ist die Polynomdarstellung. Das zweite nennt man Linearfaktorzerlegung oder in deinem ersten Punkt Produktform. Um aus der Produktform die Polynomform zu erhalten, musst du lediglich alle Klammern ausmultiplizieren. 

ich will noch kurz auf die Unterschiede dieser Formen eingehen. 

An der Polynomdarstellung können wir sofort den Grad der Funktion ablesen, das ist der höchste Exponent von \(x \). Zum Beispiel hat die Funktion

$$ f(x) = x^3 - x^2 + 5 $$

den Grad \( 3 \). Desweiteren kann man sofort den \(y\)-Achsenabschnitt ablesen (also die \(y\)-Koordinate des Schnittpunktes mit der \(y\)-Achse). Das ist der Summand ohne \( x \). Hier wäre das also die \( 5 \).

An der Linearfaktorzerlegung, kann man sofort die Nullstellen ablesen. Jedes der \(x_i \) ist Nullstelle der Funktion. Das liegt daran, das ein Produkt Null wird, wenn einer der Faktoren Null wird. 

Zweiter Punkt:

Den Grad haben wir gerade geklärt. Das ist die höchste Potenz von \(x \). Beim Leitkoeffzienten bin ich mir etwas unsicher was gemeint ist, aber ich könnte mir vorstellen das ist der Vorfaktor vom \( x \) mit der höchsten Potenz. Dieser ist nämlich gleich dem Vorfaktor in der Linearfaktorzerlegung. 

Dritter Punkt:

Wenn alle Potenzen gerade Zahlen sind, dann ist die Funktion Achsensymmetrisch. Zum Beispiel wie bei

$$ f(x) = x^4 + x^2 - 3 $$

Wenn alle potenzen ungerade sind, ist die Funktion Punktsymmetrisch zum Ursprung

$$ f(x) = x^3 - x $$

Vierter Punkt:

Das globale Verhalten, wird durch den größten Exponenten beeinflusst. Wenn wir eine ganz ganz große Zahl in eine Funktion einsetzen, dann haben andere Potenzen keinen wirklichen Einfluss mehr auf den Verlauf der Funktion. Deshalb nimmst du dir das \( x \) mit dem größten Exponenten. Wenn dieser einen geraden Exponenten hat, dann kommt die Funktion aus dem positiven ( \(+\infty \)) und geht wieder ins positive \( +\infty \). Das liegt daran, das wenn wir eine positive große Zahl einsetzen diese noch größer wird. Wenn wir aber eine negative große Zahl einsetzen, dann wird diese größer, ändert aber ihr Vorzeichen.
Bei einem ungeraden Exponenten, kommt die Funktion aus dem negativen \((-\infty\)) und geht ins positive \((+\infty)\). 
Vorsicht, wenn der Vorfaktor des \(x \) mit dem größten Exponenten negativ ist. Dann dreht sich alles um, also gerade kommt aus dem negativen und geht ins negative etc.

Fünfter Punkt:

Hab ich schon oben beschrieben. Das ist der Summand in der Polynomdarstellung, der kein \( x \) hat.

Sechster Punkt:

Bin mir nicht ganz sicher welche Bedingungen genannt wurden, aber mir fällt gerade nur ein, das an den Nullstellen der Funktionswert Null ist, und du deshalb die Gleichung

$$ f(x) = 0 $$

lösen musst. In Linearfaktordarstellung kannst du die Nullstellen wie bereits erwähnt direkt ablesen.

Außerdem kann eine Funktion nur maximal soviele Nullstellen haben, wie der Grad der Funktion ist.

Siebter Punkt war bereits genannt

$$ f(x) = 0 $$

Viel Erfolg morgen bei der Klausur.

Grüße Christian