Du hast vier Variablen, aber nur zwei Gleichungen, das heißt es gibt unendlich Lösungen. Die Lösungmenge erhält man durch auflösen nach x3 und x5:

x5=(x4-1)/2

x3=(1-x1)/4

desweiteren ist x2 beliebig.

Nun benenne x1=a, x2=b und x4=c. Dann ist

L={(a, b, (1-a)/4, c, (c-1)/2)}|a,b,c reell} 

Hallo,

du wirst auch keine eindeutige Lösung erhalten. 

$$ x_4 -2x_5 = 1 \\ x_1 +4x_3 = 1 $$

Wir formen beide Gleichungen nach einer Variable um

$$ x_4 = 2x_5 + 1 \\ x_1 = -4x_3 +1 $$

Nun wählen wir \( x_3 \) und \(x_5 \) beliebig, also

$$ x_3 = s \\ x_5 = t $$

Damit erhalten wir

$$ x_4 = 2t +1 \\ x_1 = -4s + 1 $$

Nun haben wir für \( x_2 \) keine Einschränkung, also wählen wir \( x_2 \) auch frei:

$$ x_2 = u $$

und erhalten den Lösungsvektor 

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} -4s+1 \\ u \\ s \\ 2t+1 \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Alle Vektoren die du durch diese Vektoren erzeugen kannst, erfüllen dein Gleichungssystem.

Grüße Christian