Potenzreihen - Unklare Angabe

Aufrufe: 981     Aktiv: 22.11.2019 um 13:19
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Hallo,

ich habe eine Aufgabe welche wie folgt lautet:

Die reellen Zahlen a<b seien vorgegeben. Gib eine Potenzreihe an, deren Konvergenzbereich in |R genau [a,b) ist.

 

Nun meine Frage: Dürfen hier konkrete Zahlen angenommen werden bsp. a=-1, b=1 und dann muss eine passende Potenzreihe gesucht werden, oder ist das irgendwie allgemeiner lösbar?

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1 Antwort
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Hallo,

nein du darfst keine konkreten Zahlen annehmen. Du musst für jede beliebige Wahl von \(a\) und \(b\) eine Potenzreihe servieren können! :)

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Student, Punkte: 2.6K

 
Oje, und gibt es da einen "Trick" oder muss man einfach jede Menge Potenzreihen kennen bzw. probieren, sodass oben stehendes Kriterium gilt?   ─   holler 21.11.2019 um 15:11
Naja, du kannst ja erstmal mit einem Beispiel anfangen. Das löst zwar deine Aufgabe noch nicht, aber vielleicht führt es dich auf den richtigen Weg. Was kennst du denn für Potenzreihen bei denen Der Konvergenzbereich ein halboffenes Intervall ist? :)   ─   endlich verständlich 21.11.2019 um 15:45
Diesbezüglich hätte ich es so gemacht. https://imgur.com/jtao1Xk   ─   holler 21.11.2019 um 17:07
Okay dein Beispiel hat nur das Problem, dass du \((a,b]\) hast für das Beispiel \(a=-1\) und \(b=1\) und nicht \([a,b)\) oder? :)   ─   endlich verständlich 21.11.2019 um 17:24
Ist es nicht sinnvoller, einfach \(\frac{x^n}{\sqrt{n}}\) zu nehmen? :) Dann geht \(a=-1\) klar, aber \(b=1\) nicht mehr, oder? :)   ─   endlich verständlich 21.11.2019 um 17:31
Und jetzt ist die Frage, wie kann man an dem \(x\) schrauben, dass \(-1\) rauskommt, wenn wir ein beliebiges \(a\) einsetzen und dass \(1\) rauskommt, wenn wir ein beliebiges \(b\) einsetzen. Und für eine Zahl \(z\) dazwischen: \(a < z < b\) sollte was zwischen \(-1\) und \(1\) rauskommen.   ─   endlich verständlich 21.11.2019 um 17:34
ja, da hast du recht, ich habe a und b verwechselt.   ─   holler 21.11.2019 um 18:13
Was ist denn wenn du dein \(x\) manipulierst. Du könntest stattdessen eine lineare Funktion nehmen, die durch die Punkte \((a,-1)\) und \((b,1)\) geht oder? :)   ─   endlich verständlich 21.11.2019 um 18:47
Wenn ich das versuche, komme ich auf \(\frac{-2x}{a-b}+\frac{a+b}{a-b}\). Wenn du jetzt \(a\) für \(x\) einsetzt, dann kommt \(-1\) raus und wenn du \(b\) einsetzt, dann kommt \(1\) raus.   ─   endlich verständlich 21.11.2019 um 18:53
Und wenn du dein \(x\) dadurch ersetzt, hat dann deine Reihe nicht die Eigenschaft die du haben willst? :)   ─   endlich verständlich 21.11.2019 um 18:56
Echt guter Ansatz! Wenn ich jedoch a und b beliebig wählen kann und immer der Konvergenzbereich [-1,1) rauskommt, entspricht das nicht dem Konvergenzbereich [a,b), der ja eigentlich gefragt ist. Da müsste man denke ich irgendwie an der Folge 1/sqrt(n) was ändern, da die ja den Konvergenzbereich indirekt über den Konvergenzradius bestimmt. :)   ─   holler 21.11.2019 um 19:24
Was ist denn der Konvergenzradius der Reihe: \(\sum_{n=1}^\infty\frac{(-2x+a+b)^n}{(a-b)^n\sqrt{n}}\)? :)
Der kann ja nicht einfach \([-1,1)\), sondern hängt von \(a\) und \(b\) ab. Meiner Meinung nach müsste er \([a,b)\) sein, denn wenn ich \(a\) einsetze, bekomme ich die konvergente Reihe, die du schon bewiesen hast. Wenn ich \(b\) einsetze, dann bekomme ich die divergente Reihe, die du schon bewiesen hast und wenn ich was zwischen \(a\) und \(b\) einsetze, müsste es doch eigentlich auch konvergieren oder? Warum klappt das so denn deiner Meinung nach nicht? :)   ─   endlich verständlich 21.11.2019 um 21:26
2:0 für dich - habs´ jetzt verstanden.

Vielen Danke für die umfassende Hilfe und schönes Wochenende! :)   ─   holler 22.11.2019 um 13:01
Sehr gerne! Dir auch ein schönes Wochenende! :)   ─   endlich verständlich 22.11.2019 um 13:19

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