Hallo,

ich bin mir hier auch nicht ganz sicher, aber sage dir mal meine Gedanken dazu.

Geht es um beliebige \( n \) oder immer ein festes \( n \)?

Bei einem beliebigen \( n \), hast du die selben Restklassen wie für \( n=1 \), denn für verschiedene Potenzen werden alle möglichen Reste angenommen.

Ich denke deshalb aber, das es immer ein festes \( n \) sein soll.

Ich habe die Reste einfach mal durchgerechnet. Das ist eigentlich sehr schnell gemacht, da sich die Reste periodisch wiederholen.

Für \( 1^n \mod 5 \) erhalten wir natürlich immer den Rest \( 1 \) und für \( 5^n \mod 5 \) erhalten wir natürlich immer den Rest \( 0 \).

Diese beiden Restklassen sind also schon mal immer enthalten.

Für \( 2,3 \) und \( 4 \) gilt,

$$ \begin{array}{ccc} 2 \mod 5 & = & 2 \mod 5 \\ 2^2 \mod 5 & = & 4 \mod 5 \\ 2^3 \mod 5 & = & 3 \mod 5 \\ 2^4 \mod 5 & = & 1 \mod 5 \\ 2^5 \mod 5 & = & 2 \mod 5 \\ & \vdots \end{array}     $$

Wir haben also die Reihenfolge

$$ 2 \to 4 \to 3 \to 1 \to 2 \to \ldots $$

Für 

$$ 3^n \mod 5 $$

erhalten wir die Reihenfolge

$$ 3 \to 4 \to 2 \to 1 \to 3 \to \ldots $$

Für 

$$ 4^n \mod 5 $$

erhalten wir

$$ 4 \to 1 \to 4 \to \ldots $$

Daraus kannst du nun für feste \( n \) die Restklassen bestimmen. 

Grüße Christian