Question

Bestimmen sie die Grenzwerte der Folgen und zeigen Sie, dass die Folge beschränkt und streng monoton ist.

Aufrufe: 938 Aktiv: 25.11.2019 um 15:52

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Aufgabe:

Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen $ \left(a_{n}\right) $n∈N, $ \left(b_{n}\right) $n∈N , $ \left(c_{n}\right) $n∈N \[ a_{n}=\frac{2 n+1}{n^{2}+1} \quad b_{n}=\frac{\left[1+(-1)^{n}\right] n+1}{n^{2}+1} \quad c_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n+1} \] Zeigen Sie, dass die Folge $ \left(d_{n}\right)_{n \geq 2} $ mit $ \quad d_{n}=\frac{n-1}{n+2} \quad $ beschränkt und streng monoton ist.

Problem/Ansatz:

Kann einer mir die Aufgabe mittels Rechen Weg erklären?

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gefragt 24.11.2019 um 20:33

kedsdoo
Student, Punkte: 10

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1 Antwort

christian_strack · Answer 1 · 2019-11-25T15:52:18Z

Hallo,

$a_n $: Klammere im Zähler und Nenner je eine Potenz von $ n $ aus, so das jeder Summand eine Nullfolge bildet oder eine konstante Folge. Dann kannst du den Grenzwert über das ausmultiplizierte bestimmen.

$b_n$: Teile deine Folge in zwei Teilfolgen auf. Einmal für gerade $ n $ ($2n$) und einmal für ungerade $ n $ ($2n+1$).
Dann bestimme von beiden Folgen den Grenzwert. Wenn dies der selbe ist, ist das der Grenzwert von $ b_n $. Ist es nicht der selbe, hat $ b_n $ keinen Grenzwert.

$c_n$: Erinnere dich an die Exponentialfunktionsfolge.

$d_n$: Beschränkheit bedeutet

$$ \vert d_n \vert \leq M $$

wobei $ M $ eine beliebige Zahl ist.

Setze mal ein paar $ n $ ein um zu gucken ob die Folge fällt oder steigt. Wenn sie fällt, zeige das

$$ a_n \geq a_{n+1} $$

wenn sie steigt, zeige das

$$ a_n \leq a_{n+1} $$

gilt.

Versuch dich mal. Ich gucke gerne nochmal drüber.

Grüße Christian