Hallo,

wenn du das neutrale Element bestimmen willst, dann musst du ein Element \(e\) bestimmen, für das 

$$x\oplus e=x$$

gilt. In deinem Fall heißt das:

$$\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{e}}=x,$$

also soweit stimmt es. Wenn du jetzt mit dem Nenner multiplizierst, folgt:

$$1=1+\frac{x}{e}$$

Diese Gleichung kannst du tatsächlich nur für \(x=0\) erfüllen, was aber nicht eingesetzt werden darf, da dann \(\frac{1}{x}\) nicht definiert ist. 

Es scheint somit kein neutrales Element zu geben.

Hallo,

die Assoziativität lässt sich wie folgt zeigen:

$$(x\oplus y)\oplus z=\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\oplus z=\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}+\frac{1}{z}}=\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}}}=x\oplus \frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=x\oplus (y\oplus z)$$

Alles klar? :)