Radius des großen Kreises:

`r_g=s/2`

Höhe des Dreiecks ABC - Satz des Phytagoras: `(s/2)^2+h_(ABC)^2=s^2`

`sqrt(s^2-(s/2)^2)=sqrt(3/4*s^2)=sqrt(3)/2*s=h_(ABC)`

Position des Schnittpunkts des kleinen Kreises mit dem großen Kreis:

`h_s=h_(ABC)-r_g=sqrt(3)/2*s-1/2*s=((sqrt(3)-1)/2)*s`

Dies entspricht der Höhe eines gedachten kleinen - logischerweise ebenfalls gleichseitigen - Dreiecks, dessen Grundseite zwischen kleinem und großem Kreis verläuft.
Ein Kreis in einem gleichseitigen Dreieck, hat seinen Mittlerpunkt im Schwerpunkt des Dreiecks. Der Schwerpunkt ist gleich weit von allen Ecken entfernt (Symmetrie des gleichseitigen Dreiecks).
Er ist der Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden. Die Winkel sind 60°, halbe Winkel also 30°. Uns interessiert also das Verhältnis zwischen tan(60°)/tan(30°) - wenn ihr diese Funktionen noch nicht hattet, geht es aber auch anders.

`tan(60°)/tan(30°)=sqrt(3)/(sqrt(3)/3)=3`

Das Dreieck ist also dreimal so hoch wie die Entfernung des Schwerpunkts (Kreismittelpunkts) von der Grundseite.
Siehe auch: Wikipedia - "Gleichseitiges Dreieck"

Radius des kleinen Kreises (Inkreis des kleinen Dreiecks):

`1/3*h_s=1/3*((sqrt(3)-1)/2)*s=(sqrt(3)-1)/6*s`

Dies wollten wir zeigen.

Wenn noch Fragen sind, gerne - ansonsten bitte die Antwort akzeptieren...