Hi, es geht um eine Aufgabe von meiner Klausur, ich konnte dei Aufgabe lösen und habe auch die volle Punktzahl bekommen, aber eigentlich nur durch ausprobieren und nicht durch verständnis. Also den meisten Teil habe ich natürlich verstanden, aber halt nicht wirklich alles.

Die Aufgabe lautet:

K ist das Schaubild der Funktion f mit \( f(x)=\frac{1}{3}x^3-x\) ;xEIR.

Es gibt zwei Tangenten an K, die parallel zur 1. Winkelhalbiernden verlaufen.

Bestimmen Sie die Koordinaten der Berührpunkte exakt.

Ich konnte die Aufgabe Gott sei Dank lösen, aber nur durch rumprobieren.

Man weiß die erste Winkelhalbierende ist y=x, also x=1x. Parallel bedeutet, das die Tangenten die gleiche Steigung haben.

Ich saß da erst mal 5 Minuten und habe überlegt. Dann habe ich mir gedacht okay leite ich mal die Funktion ab und setze sie mit 1 gleich, da ja die Punkte gesucht sind, die die gleiche Steigung besitzen.

also \( f´(x)=x^2-1 \)

\( x^2-1=1 \)  

Das er gibt dann am ende 

\(+-\sqrt{2} \)

Und dan habe ich einfach einmal \(+\sqrt{2} \) und \(-\sqrt{2} \) jeweils in die Anfangsfunktion K ist das Schaubild der Funktion f mit \( f(x)=\frac{1}{3}x^3-x\) eingefügt. Und hatte die richtigen Koordinaten.

Jetzt zu meinem Problem, warum erhält man einen Punkt, wenn man die Ableutungsfunktions mit einem Wert gleichsetzt? Also warum, \( x^2-1=1 \)  gibt mir diese Ableitungsfunktion, die ich mit eins gleichgesetzt habe einen Punkt, den ich bei \( f(x)=\frac{1}{3}x^3-x\) einsetzen kann?

Ich habe das nur gemacht, weil mir keine andere Möglichkeit offen blieb... Aber eigentlich dachte ich immer Ableitungsfunktionen geben mir nur eine Steigung an und nicht einen x-Punkt. Ich könnte mir jetzt denken, dass durch das gleichsetzen ein X-Punkt gezeigt wird, wo die Funktion die Steigung 1 hat, aber warum? Also wie kann man das verstehen, dass wenn ich die Ableitungsfunktion einer Funktion mit einem Wert gleichsetze, ich einen Punkt erhalte von der Funktion, die ich vorher abgeleitet habe, wo die Funktion die Steigung hat, mit der ich die Ableitungsfunktion gleichgesetzt habe? Wie kommt das, wäre echt gut, wenn das einer erklären könnte auf Schülersprache und nicht das zu komplexe Mathedeutsch an den Unis und Fhs :(.