Warum bringst du denn auf einmal Summen ins Spiel? Die klappt so ohnehin nicht, warum ist da eine leere Summe?
Nochmal deine Annahme:
\(\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + ... + \frac{1}{n\cdot (n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2}\)
Für die linke Seite kannst du doch nun abgesehen vom letzten Summanden die IV einsetzen. Das sieht dann so aus:
\(\frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2}\)
Nun nur noch die linke Seite erweitern und schauen ob wir auf den rechten Ausdruck kommen:
\(\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2}\)
\(\frac{n(n+2) + 1}{ (n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2}\)
\(\frac{n^2+2n + 1}{ (n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2}\)
\(\frac{(n+1)^2}{ (n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2}\)
\(\frac{n+1}{n+2} = \frac{n+1}{n+2}\)
qed
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