Hallo,

nehmen wir erstmal den Vektorraum \( \mathbb{R} \). Für diesen ist es klar warum dieser ein Vektorraum ist oder?

Wenn du nun eine Potenz nimmst, also den Vektorraum \( \mathbb{R}^n \) nimmst, dann kann man die Axiome für jede Komponente einzeln überprüfen, da die Verknüpfungungen sich entweder auf alle Komponenten gleichermaßen auswirken (Skalarmultiplikation) oder immer die \(x_i\)-te Komponente mit der \(x_i\)-ten Komponentene eines anderen Vektors verknüpft wird (Vektoraddition). Deshalb kann man jede Dimension als \( \mathbb{R} \) auffassen, für den ja die Axiome gelten. 

Somit ist \( \mathbb{R}^n \) für jedes \(n \in \mathbb{N} \) ein Vektorraum.

Grüße Christian