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Hallo,
dein vorgehen ist soweit schon richtig, aber vergiss nicht, das du in die Ableitungen immer den Entwicklungspunkt einsetzen musst. Also
$$ \begin{array}{ccc} f(\frac {\pi} 6) & = & \cos( \frac {\pi} 3) \\ f'(\frac {\pi} 6) & = & -2\sin( \frac {\pi} 3) \\ f''(\frac {\pi} 6) & = & -4\cos( \frac {\pi} 3) \\ & \vdots & \end{array} $$
Versuch dich jetzt nochmal. Wenn es noch nicht klappt melde dich gerne nochmal :)
Und die Taylorreihe ist immer eine Potenzreihe, aber nicht jede Potenzreihe kann durch eine Taylorentwicklung gebastelt werden.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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So musste auch etwas rumbasteln. Weiß nicht ob es die eleganteste Lösung ist, aber ich habe folgende Lösung gefunden
$$ 2^{k-2} \cdot (-1)^k \cdot (1 + (-1)^k + \sqrt{3} + (-1)^{k+1} \sqrt{3} ) $$
Wenn du nun ein gerades \( k \) hast, heben sich die Wurzeln auf (\(\sqrt{3} - \sqrt{3} \)) bei einem ungeraden \( k \) die Einsen.
Damit solltest du nun jeden Wert der Ableitungen erzeugen können. ─ christian_strack 04.12.2019 um 17:47
$$ 2^{k-2} \cdot (-1)^k \cdot (1 + (-1)^k + \sqrt{3} + (-1)^{k+1} \sqrt{3} ) $$
Wenn du nun ein gerades \( k \) hast, heben sich die Wurzeln auf (\(\sqrt{3} - \sqrt{3} \)) bei einem ungeraden \( k \) die Einsen.
Damit solltest du nun jeden Wert der Ableitungen erzeugen können. ─ christian_strack 04.12.2019 um 17:47
Ok vielen dank erstmal.
Ich verstehe auch das meiste, wie alles zustande kommt. Was ich aber noch nicht ganz verstehe ist, wofür / warum die 2^(k-2) *(-1)^k da ist
Aber nochmal vielen dank. Hat jetzt schon sehr geholfen. ─ leonk 04.12.2019 um 19:34
Ich verstehe auch das meiste, wie alles zustande kommt. Was ich aber noch nicht ganz verstehe ist, wofür / warum die 2^(k-2) *(-1)^k da ist
Aber nochmal vielen dank. Hat jetzt schon sehr geholfen. ─ leonk 04.12.2019 um 19:34
Ouh mit dem \( (-1)^k \) habe ich mich auch vertan, da ja nicht jedes mal das Vorzeichen wechselt.sondern immer nach zwei Gliedern. Da muss ich auch nochmal kurz drüber nachdenken.
\(2^{k-1} \) habe ich genommen, da du für \( k=0 \), \( \frac 1 2 \) erhälst. Nun ergibt das in der letzten Klammer entweder \( 2 \) (wenn sich die Wurzeln aufheben) oder \( 2\sqrt{3} \) (wenn sich die Einsen aufheben). Wir müssen hier also noch einen Faktor \( 2 \) kompensieren indem wir nochmal durch zwei teilen. Dadurch kommen wir auf \( 2^{k-2} \).
─ christian_strack 05.12.2019 um 09:51
\(2^{k-1} \) habe ich genommen, da du für \( k=0 \), \( \frac 1 2 \) erhälst. Nun ergibt das in der letzten Klammer entweder \( 2 \) (wenn sich die Wurzeln aufheben) oder \( 2\sqrt{3} \) (wenn sich die Einsen aufheben). Wir müssen hier also noch einen Faktor \( 2 \) kompensieren indem wir nochmal durch zwei teilen. Dadurch kommen wir auf \( 2^{k-2} \).
─ christian_strack 05.12.2019 um 09:51
danke erstmal für die Antwort. Ich hab den Entwicklungspunkt nun eingesetzt und habe bemerkt, dass das Ergebnis der Cosinus Reihe, bzw. der Sinus Reihe nun immer um den Faktor -4 wächst.
Also:
f(π/6)= 1/2
f''(π/6)=-2
f''''(π/6)=8
f'(π/6)=- Wurzel 3
f'''(π/6)=4* Wurzel 3
f'''''(π/6)=-16 Wurzel 3
und ich kenne die Potenzreihe für den Cosinus und den Sinus... Jedoch weiß ich jetzt wieder nicht weiter...
Irgendwie erscheint mir das gerade nicht eindeutig...
─ leonk 04.12.2019 um 16:30