Hallo,

ich bin mir leider nicht mehr 100% sicher, da ich nicht so viel in Restklassen gerechnet habe, aber gucken wir uns das einfach mal zusammen an.

$$ (x^5 +x^4+x^3+x+1) \div (x^3 + x^2 + 1) = ?$$

soll berechnet werden. Zuerst ziehen wir das \( x^2 \)-fache des Divisor vom Dividenten ab

$$ x^5 + x^4 + x^3 + x +1 - x^2(x^3+x^2+1) = x^3 -x^2 + x +1 $$

Damit erhalten wir schon mal

$$(x^5 +x^4+x^3+x+1) \div (x^3 + x^2 + 1) = x^2 \ldots $$

Nun ziehen wir nochmal den Divisor ab und erhalten

$$ x^3 - x^2 + x +1 - (x^3+x^2 +1) = -2x^2 +x $$

und somit

$$ (x^5 +x^4+x^3+x+1) \div (x^3 + x^2 + 1) = x^2 +1 \ldots$$

Jetzt bleibt noch \( -2x^2+x \) als Rest. Allerdings befinden wir uns im Körper \( \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \). Das bedeutet, dass \( 2 = 0 \) gilt. Somit erhalten wir als Rest \( x \) und als Lösung

$$ (x^5 +x^4+x^3+x+1) \div (x^3 + x^2 + 1) = x^2 + 1 + \frac x {x^3+x^2+1} $$

Was meinst du dazu?

Grüße Christian