Hallo,

alles klar dann gehen wir das ganze mal durch. 

Wir dürfen den konstanten Vorfaktor wieder herausziehen

$$ \frac {\mathrm{d}(10^7 \cdot e^{-5\cdot(0,5)^t})} {\mathrm{d}t} = 10^7  \frac {\mathrm{d}(e^{-5\cdot(0,5)^t})} {\mathrm{d}t} $$

Nun müssen wir noch die \(e\)-Funktion ableiten.

Dafür nutzen wir die Kettenregel. Wir haben als äußere Funktion die natürliche Exponentialfunktion 

$$ u(t) = e^t $$

und als innere Funktion alles was im Exponenten steht

$$ v(t) = -5 \cdot (0{,}5)^t $$

Für die Kettenregel gilt

$$ f(t) = u(v(t)) \\ f'(t) = u'(v(t)) \cdot v'(t) $$

Wir leiten also jede Funktion einzeln ab. Die Exponentialfunktion ist trivial

$$ u'(t) = e^t $$

Nun zu der inneren Funktion. Wir können wieder den Vorfaktor \(-5 \) herausziehen. Nun müssen wir nur noch die Ableitung von \( \overline{v}(t) = 0{,}5^t \) berechnen.

Dies ist auch eine Exponentialfunktion. Wir kennen von einer Exponentialfunktion bereits die Ableitung. Nämlich von der natürlichen Exponentialfunktion. Deshalb nutzen wir den Logarithmus, um als Basis unserer Exponentialfunktion die Eulersche Zahl zu erhalten. Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion. Somit gilt

$$ e^{\ln(t)} = \ln(e^t) = t $$

Wenden wir das auf unsere Funktion an, erhalten wir

$$ \overline{v}(t) = 0{,}5^t = e^{\ln(0,5^t)} = e^{\ln(0,5) \cdot t} $$

Im letzten Schritt habe ich die Logarithmusregeln angewendet.

Nun können wir die Funktion ableiten. Wir nutzen wieder die Kettenregel und erhalten

$$ \overline{v}'(t) = \ln(0{,}5) \cdot e^{\ln(0,5) \cdot t} = \ln(0{,}5) \cdot 0{,}5^t $$

Dieser Schritt klar?

So nun basteln wir alles wieder zusammen.

$$ v'(t) = -5 \cdot \overline{v}'(t) = -5 \ln(0{,}5) \cdot 0{,}5^t $$

Jetzt können wir endlich in die erste Kettenregel einsetzen

$$ f'(t) = u'(v(t)) \cdot v'(t) = e^{-5 \cdot (0,5)^t} \cdot (-5 \ln(0{,}5) \cdot 0{,}5^t) $$

Als aller letztes dürfen wir natürlich den ersten Vorfaktor nicht vergessen, und erhalten

$$ y'(t) = 10^7 \cdot f'(t) = 10^7 \cdot e^{-5 \cdot (0,5)^t} \cdot (-5 \ln(0{,}5) \cdot 0{,}5^t) $$

Grüße Christian