Kritische Punkte einer mehrdimensionalen Abbildung

Aufrufe: 1051     Aktiv: 10.12.2019 um 16:22
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Hi zusammen, Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe: Es geht darum, dass vorgegeben war, dass eine differenzierbare Abbildung einen kritischen Punkt hat, wenn df(a) nicht surjektiv ist. Nun soll man die kritischen Punkte folgender Abbildungen bestimmen: A) f: R^3 —> R^3 , f(x,y,z) = (x^2 , y^2 , z^2) B) f: R^4 —> R^2 , f(x,y,z,t) = (1/2x^2 + 1/2y^2 +zt , xz+ty) Hier verstehe ich noch nicht ganz, wie ich vorzugehen habe... bei Funktionen, die vom R^n auf R abbilden verstehe ich das, dass man schaut für welche Punkte a alle partiellen Ableitungen gleichzeitig null werden, aber hier kann ich mir das noch nicht ganz vorstellen... Könnt ihr mir hier weiterhelfen was ich tun muss? Dankeschön!!
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Hallo,

\( \mathrm{d}f(a) \) ist die Jacobi Matrix. Wie man die aufstellt ist klar?

Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn ihre Abbildungsmatrix vollen Zeilenrang hat. Somit ist sie nicht surjektiv, wenn sie eben nicht vollen Zeilenrang hat.

Grüße Christian

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Hallo Christian,

Okay, die Jacobi-Matrix ist
2x 0 0
0 2y 0
0 0 2z

Damit die Jacobimatrix keinen vollen (Zeilen)rang hat, müssten also mindestens zwei Variablen gleich 0 sein. Also gibt es in Abhängigkeit einer weiteren Variable 4 kritische Punkte: (a,0,0), (0,a,0) , (0,0,a) , (0,0,0) mit a reelle Zahl ohne die Null.

Stimmt das so? Oder würdest Du das anders ausdrücken?   ─   anonym59494 08.12.2019 um 18:45
...und es ist wahrscheinlich wichtig Zeilen und Spalten richtig zu wählen oder?

Also was ich meine:
Wenn die Zeilen meiner Matrix die verschiedenen partiellen Ableitung einer einzigen Funktion nach allen Variablen ist, wäre die Jacobimatrix
X Y T Z
Z T X Y
Und damit hier der Zeilenrang nicht voll ist, müsste x=y=z=t gelten, also gibt es kritische Punkte (a,a,a,a) mit a in den reellen Zahlen.

Wenn die Zeilen der Matrix die partiellen Ableitungen der verschiedenen Funktionen nach jeweils einer Variable ist, dann wäre die Matrix
X Z
Y T
T X
Z Y

Und das würde, wenn man die verschiedenen Zeilen miteinander vergleicht, zu 5 verschiedenen Scharen von kritischen Punkten führen - aber das ist falsch so oder?   ─   anonym59494 08.12.2019 um 19:13
Zu deinem erstem Kommentar. Es ist bereits kein voller Zeilenrang, wenn eine Variable gleich Null ist. Denn dann erhält man sofort eine Nullzeile.
Deinen zweiten Kommentar verstehe ich nicht wirklich. Was ist T?
Aber es ist auf jeden Fall wichtig die Zeilen und Spalten richtig zu wählen, denn die Surjektivität kann mit einem nicht vollen Spaltenrang gegeben sein, aber niemals mit einem nicht vollen Zeilenrang..   ─   christian_strack 08.12.2019 um 20:06
Ahh stimmt, du hast Recht!

T ist die vierte Variable
Wir haben dann eine 2x4 Jacobimatrix und erhalten eine Nullzeile wenn die obere Zeile linear abhängig von der unteren Zeile ist.

Dies ist aber nur der Fall wenn alle 4 Variablen gleich sind, also x=y=z=t oder?   ─   anonym59494 10.12.2019 um 11:38
Okay nein, nicht ganz.
Es die zweite Zeile ist linear abhängig von der ersten Zeile wenn man die zweite Zeile mit 1 oder (-1) multipliziert und dann gilt entweder x=y=-z=-t oder x=y=z=t

Also sind all die Punkte kritisch, für die das gilt.

Danke vielmals :)   ─   anonym59494 10.12.2019 um 13:56
Ach wow habe die zweite Aufgabe ganz ausgeblendet und mich die ganze Zeit gefragt wo die vierte Variable herkommt :D
Ok stand etwas auf dem Schlauch.
Die jacobi Matrix stimmt auf jeden Fall. Wie kommst du auf \( -1 \) und \(1 \)?
Ich würde die beiden Zeilenvektoren hernehmen und
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ t \\ z \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} z \\ t \\ x \\ y \end{pmatrix} $$
Daraus erhalten wir für \( x,y,z,t \neq 0 \)
$$ \frac x z = \frac y t = \frac t x = \frac z y $$
Für \( x,y,z,t = 0 \) sind die Zeilen trivialer Weise linear abhängig.   ─   christian_strack 10.12.2019 um 15:25
Naja wir sollen ja konkrete kritische Punkte herausfinden. Also habe ich Lambdas gesucht für die es konkrete kritische Punkte gibt!

Ich schreibe der Einfachheit halber L für lambda

x=Lz=L^2y=L^3t=L^4x (das geht genauso für die anderen 3 Variablen)

Aus x=L^4x folgt dass Lambda +1 oder -1 sein kann und aus x=L^2y folgt x=y ; ganz egal ob lambda positiv oder negativ ist. Ausserdem bekommen wir, dass x=-t=-z wenn L=-1 und x=t=z wenn L=1

Daraus kann man folgern, dass die beiden Zeilen der Jacobi Matrix linear abhängig sind für Punkte (x,y,z,t) der Form (a,a,a,a) oder der Form (a,a,-a,-a) mit a beliebig in den reellen Zahlen   ─   anonym59494 10.12.2019 um 16:00
Ah ja wunderbar. Sehr schön gelöst :)
Ich glaube ich sollte mir mal einen Tag Pause von der Mathematik gönnen :p
Aber umso besser das du selbst drauf gekommen bist :)

Grüße Christian   ─   christian_strack 10.12.2019 um 16:03
Sehr schön, danke :D
Gönn dir ruhig ein paar freie Tage - nur nicht zu viele, sonst verzweifeln hier sehr viele Leute ;) :D   ─   anonym59494 10.12.2019 um 16:10
Gerne :)
Gucke nochmal durch was noch schnell geht und morgen bin ich dann wieder in alter Frische am Start :D
Solche Aussagen motivieren doch sehr. :)
Schönen Tag noch.   ─   christian_strack 10.12.2019 um 16:22

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