Um zu zeigen, dass E(Y)=0 ist, muss man die Linearität des Erwartungswertes ausnutzen:
\(E(Y)= E(\frac{X-\mu}{\sigma}) = \frac{1}{\sigma}(E(X)-E(\mu))=\frac{1}{\sigma}(E(X)-\mu)=\frac{1}{\sigma}(\mu-\mu)=0 \)
Für den Beweis von \(Var(Y) = 1\) benötigt man, dass \(Var(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2\)gilt sowie wieder die Linearität des Erwartungswertes.
Damit erhält man:
\( Var(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2= E((\frac{X-\mu}{\sigma})^2) - 0^2 = E(\frac{1}{\sigma^2}(X^2-2X\mu+\mu^2))\)
\(=\frac{1}{\sigma^2}(E(X^2)-E(2X\mu)+E(\mu^2)) = \frac{1}{\sigma^2}(E(X^2)-2\mu E(X)+\mu^2)=\frac{1}{\sigma^2}(E(X^2)-2\mu^2+\mu^2) \)
\(=\frac{1}{\sigma^2}(E(X^2)-\mu^2)=\frac{1}{\sigma^2}(E(X^2)-E(X)^2)=\frac{1}{\sigma^2}Var(X)=\frac{1}{\sigma^2}\sigma^2=1\)
Liebe Grüße,
Anne
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